Mermos: Logika: Musze zrozumieć takie zagadnienia jak Rachunek zbiorów iloczyn kartezjański i kwantyfikatory Analiza: Pochodne funkcji, asymptoty i granice. Poniżej wypisze kilka zadań prosiłbym o rozwiązanie ich z komentarzem jak i dlaczego właśnie tak, wiem że to troszkę uciążliwe ale same rozwiązania nic mi nie pomogą w jutrzejszych egzaminach. 1.Granice właściwe funkcji: a)lim x→1 x³-x²+x-1/x³+x²-x-1 b)lim x→0 sin4x/sin5x c)lim x→0 sin²3x/x² 2.Granice jednostronne: a)lim x→0 sinx/|x| 3.Asymptoty: Wyznaczyć asymptoty poziome i pionowe: a)y+3x-1/x+1 4.Asymptoty: a)lim x→∞ (x+2/x+3)³x 5.Pochodne funkcji: Te podstawowe opanowałem ale jest jeszcze kilka przykładów do wyjaśnienia: a) f(x)=√x+√x³+p[x}⁴+√x⁵ b) g(x)=√(x³+2x+1) Logika: 1.udowodnij że dla dowolnych zbiorów A B C zachodzi równość a) Au(B~uC)=(AuB)~u(AuC) ~u- u do góry nogami b)A~(BuC)=(A~uB)u(A~uC) 2.Wyznaczyć sumę,iloczyn,obie różnice i dopełnienie AuB,A~uB,A\B,B\A,A',B' dla zbiorów A=<1,7) b=(-2,3> 3Iloczyn kartezjański: Dane są zbiory A B C Wyznaczyć Ax(BuC) (BxC)\(AxC) (AxB)u(AxC) (AuC)x(B\{4}) A={a,b} B={4,5,6} C={α,β}

Mermos: Ktokolwiek ?

Basia: Chyba wczoraj wszyscy wcześnie poszli spać. Napiszę Ci na razie wskazówki do pierwszego. Srróbuj na ich podstawie sam sobie poradzić. lim x→1 (x³-x²+x-1)/(x³+x²-x-1) L(x)=x³ - x² + x - 1 = x(x² + 1) - (x²+1) = (x²+1)(x-1) M(x)=x³ + x² - x -1 = x²(x+1) -(x+1) = (x+1)(x² -1) = (x+1)(x+1)(x-1) lim L(x)/M(x) = lim [ (x²+1) / (x+1)² ] = (1+1) / (1+1)² = 2/4 = 1/2 x→1 x→1 b)lim x→0 sin4x/sin5x licznik i mianownik dążą do 0 czyli można zastosować tw. de l'Hospitala (sin4x)' = 4cos4x (sin5x)' = 5cos5x lim L(x)/M(x) = lim (4cos4x) / (5cos5x) = 4cos0 / 5cos0 = 4*1/5*1 = 4/5 x→0 x→0 c)lim x→0 sin²3x/x² sin²3x / x² = (sin3x /x)*(sin3x /x) = (3sin3x / 3x)*(3sin3x / 3x) lim (sin3x)/3x = 1 x→0 czyli Twoja granica = 3*1 * 3*1 = 9

Basia: 2.Granice jednostronne: a)lim x→0 sinx/|x| korzystasz z definicji wartości bezwzględnej x dla x≥0 |x| = -x dla x<0 x→0^- to x<0 to |x| =-x czyli Twoja granica = lim (-sinx/x) = - lim (sinx/x) = -1 x→0^- x→0^- x→0⁺ to x>0 to |x|=x czyli Twoja granica = lim (sinx/x) = 1 x→0⁺

Basia: 3.Asymptoty: Wyznaczyć asymptoty poziome i pionowe: y= 3x-1/x+1 x+1≠0 ⇔ x≠-1 czyli dla x=-1 funkcja nie jest określona i prosta x=-1 będzie jej asymptotą pionową możemy zobaczyć jak funkcja będzie się zachowywać przy x→ -1^- i przy x→ -1⁺ lim (3x-1) / (x+1) = lim(3x-1) * lim(1/x+1) lim(3x-1) = 3(-1) - 1 = -3 -1 = -4 x→ -1 x→ -1^- to x< -1 to x+1<0 to 1/(x+1) → -∞ czyli lim (3x+1)/(x+1) = -4*(-∞) = +∞ x→ -1^- x→ -1⁺ to x>-1 to x+1>0 to 1/(x+1) → +∞ czyli lim (3x+1)/(x+1) = (-4)*(+∞) = -∞ x→ -1⁺ asymptoty poziome instnieją jeżeli lim funkcji przy x→ +∞ (-∞) istnieje i jest skończona lim (3x+1)/(x+1) = lim (3 + 1/x) / (1 + 1/x) = (3+0)/(1+0) =3 x→+∞ x→+∞ x→ -∞ x→ -∞ czyli funkcja ma asymptotę poziomą y =3

Basia: W (4) nie wiem dokładnie jak ten wzór ma wygladać 5. f(x)=√x+√x³+√x⁴+√x⁵ f(x) = x^1/2 + x^3/2 + x² + x^5/2 i stosujemy do każdego ze składników wzór (xⁿ)' = n*(x^n-1) f'(x) = (1/2)*x^-1/2 + (3/2)*x^1/2 + 2x + (5/2)*x^3/2 = 5√x³ 3√x 1 ---------- + 2x + ---------- + -------------- 2 2 2√x

Basia: g(x)=√(x³+2x+1) 1 3x² +2 g'(x) = ----------------------- * (x³+2x+1)' = ------------------- 2√x³+2x+1 2√x³+2x+1

btar: x;x²−10x=25=0