Bogdan: Widzę, że wszystkie dzisiejsze zadania są rozwiązane lub są rozwiązywane. Zamieszczam wobec tego zadanie, które znalazłem dzisiaj na jednej ze stron matematycznych. Spróbujcie się zmierzyć z tym zadaniem. Oto one: W równoległoboku ABCD dane są: |AB| = 9, |BC| = 5, |<ABC| = 120*. Punkt E leży na boku AB i |AE| = 6. Punkt F jest środkiem boku BC. Proste CE i DF przecinają się w punkcie K. Oblicz pole czworokąta EBFK.

nocek: Witam ! to z matmixa! widziałam! Jest tam chyba rozwiazane pozdrawiam! Ja uczę studenta podstawowych wzorów do obliczania pochodnych bo jest widzę "cienki" bolek(bez urazy)

Bogdan: Tak, widziałem Twoją lekcję. Zadanie jest z matmixa, ale mam wrażenie, że kiedyś już je gdzieś widziałem i rozwiązywałem. Rozwiązania tam jeszcze nie ma, pojawi się za kilkanaście dni.

Basia: Zdaje mi się, że było na forum.

Basia: Dzisiaj już chyba nie jestem w stanie, ale przymierzę się. Ciekawe zadanie

nocek: Basia ! Dawaj to zadanko! Do rana jeszcze dużo czasu! Myślę,ze Bogdan podrzuci nastepne!

Bogdan: Trzeba się udać na zasłużony odpoczynek. Dobranoc.

Bogdan: No jeszcze nie idę spać

Bogdan: Czy podać pole czworokąta, jakie otrzymałem? Sposobu rozwiązania nie będę podawał.

nocek: Podaj!... podaj! Szybko się uwinałes ... no ale pisałes ,że juz miałes z nim do czynienia "spryciarzu"

Bogdan: Sądzę, że ciekawsze od odpowiedzi będą metody rozwiązania tego zadania. Myślę, że każdy z nas wpadnie na inny sposób jego rozwiązania i proponuję wymienić się swoimi metodami. Podaję odpowiedź: P = (165√3) / 56

Bogdan: Chciałem sprawić Wam przyjemność chyba niebanalnym zadaniem. A rozwiązywałem je wieczorem, nim je tu przedstawiłem. Zanim wpadłem na pomysł, też się z nim trochę pogimnastykowałem.

nocek: Ok! Dzięki!.... ale to juz nie dzisiaj!.... jeszcze brydża z komputerem zaliczę Ciekawe co na to zad,? " zzk" (czytałeś "spięcie" z Basią? Miłych snów!

Bogdan: Czytałem i byłem zażenowany. A ja zagram z komputerem w szachy. Dobranoc.

Basia: Cześć koledzy! Mam; wynik taki sam jak u Bogdana. Pisać czy jeszcze czekać Eto, Nocku itd. Dało mi popalić, ale jak już człowiek zauważy wreszcie to co powinien, sam się dziwi, że od razu nie widział.

Bogdan: Jest kilka dróg prowadzących do rozwiązania. Ciekaw jestem Basiu Twojej drogi.

Eta: Witam! Dawaj Basia,bo mi niestety nie wychodzi! Mam pole ΔEBC= 15√3/4 a, pola tego ΔKFC ... za "diabła" ! Dajcie wskazówkę!, bo już mam dosyć tego "krążenia" Myślę,że jakiś prosty "kruczek" ale nic mi nie przychodzi do głowy! Liczę i z wł. środkowych trójkąta, ... i nic! Pasuję!.... choc to do mojej "zaciętości nie podobne! ale...... "pas" Wczoraj serwer "padł"?( myślałam,że to tylko coś u mnie się dzieje z kompem Pozdrawiam!

Eta: Witam Bogdanie! Właśnie żadna z nich nie doprowadziła mnie do poprawnego rozwiazania! I poddaję się

Basia: przedłużam podstawę i prostą DF tak żeby przecięły się w punkcie M trójkąty BFM i CFD są przystające trójkaty EKM i CKD podobne P = P_EKM - P_BFM z tego korzystałam i nawet się za bardzo nie narachowałam jak chcesz to Ci wieczorem napiszę całe rozwiązanie, ale może wolisz dalej sama powalczyć

Basia: Cześć Bogdanie ! Innych dróg już nie szukałam, ale jak znasz to się pochwal; warto poznać

Eta: Dzięki Basia! Właśnie tez takiego "przedłuzenia" korzystałam! Nie wiem czemu mi nie wychodziło? Narazie nie pisz rozw. .... podziałam! ..jeszcze Basia ! zobacz do "Monika"!

Bogdan: Witam Eto, też myślałem, że mój komputer złapał jakieś paskudztwo, sprawdzilem otwieranie się tej strony na innym kompie i też nic, przyjąłem więc, że Jakub ma jakiś problem z serwerem. Cieszę się , że jest już ok. Wracając do zadania, podaję I sposób: Trzeba dorysować: 1) przedłużenie dolnej podstawy AB dwukrotnie, koniec tego odcinka oznaczyć H, 2) narysować przedłużenie odcinka DF do przecięcia się z AH i oznaczyć punkt przecięcia G, 3) narysować trzy wysokości opadające na AH w trójkątach: z K w ΔEGK i oznaczyć spodek tej wysokości L, z F w ΔBGF i oznaczyć jej spodek M, z C w Δ EHC i oznaczyć jej spodek N. Na AH są teraz następujęce punkty w kolejności od A: A, E, B, L, M, N, G, H. 4) |<CBN| = 60* (miara kąta CBN jest rowna 60 stopni) i |BC| = 5. Obliczamy z funkcji trygonometrycznej w ΔBNC długość NC, |NC| = 5√3 / 2. 5) Obliczmy długość FM pamiętając, że F jest środkiem BC, |FM| = 5√3 / 4. 6) |EB| = 3, |EH| = 3 = 9 = 9 = 21, |EG| = 3 = 9 = 12. Z podobieństwa trójkątów EHC i EGK obliczamy wysokość KL, czyli: |EH| / |EG| = |NC| / |KL| → 21/12 = (5√3/2) / |KL| → |KL| = 10√3/7 7) Pole czworokąta EBFK jest równe: P_ΔEGK - P_ΔBGF = = (1/2) * 12 * 10√3/7 - (1/2) * 9 * 5√3 / 4 = 165√3 / 56. Gotowe. Potem przedstawię inny sposób.

Bogdan: Basiu, nasze przedstawione tu drogi są takie same, dla czytelności rysunku i obliczeń wolałem przedłużyć podstawę dwukrotnie, ale oczywiście wystarczy jednokrotne jej przedłużenie, tak, jak to zrobiłaś.

Bogdan: Do wieczora mam swoje zajęcia, ale przed pożegnaniem się podam ten inny sposób na rozwiązanie zadania. Jeśli nie udaje się rozwiązać zadania z geometrii metodami geometrii euklidesowej, to mozna spróbować zastosować narzędzia geometrii analitycznej, trzeba "sprytnie" nałożyć na rysunek układ współrzędnych i wyznaczyć równiania linii. W naszym zadaniu zrobilem to tak: 1) Odwróciłem rysunek o 180*, teraz dolną podstawą rownoległoboku jest CD. w wierzchołku C przyjąłem początek układu współrzędnych, czyli C = (0, 0). Oś odciętych poprowadziłem wzdłuż CD, więc D = (9, 0) Oś rzędnych prostopadle do CD i otrzymałem: F = (5/4, 5√3/4), B = (5/2, 5√3/2), E = (11/2, 5√3/2). 2) Wyznaczyłem równania prostych zawierających punkty: CE oraz DF, dalej na ich podstawie współrzędne punktu K. 3) Dla uproszczenia obliczeń obliczyłem pole ΔCEB i pole ΔCKF, ich różnica jest szukanym polem czworokąta FKEB. Do zobaczenia wieczorem.