Mermos: Jak to rozwiązać!? lim (n dąży do nieskończ.)ⁿ√3ⁿ+5ⁿ+9ⁿ z jakimś komentarzem jak to rozwiązano poproszę lim (n dąży do nieskończ.) √n²+2 - √n²-3 lim (x dąży do nieskończ) (1- 3/x)²x lim (x dąży do nieskończ.) (x+2/x+3)³x Obliczyć pochodną funkcji: a) f(x)=4x³-5x⁵+2x²-3 b) g(x)= (2x²-5) (4x³+x-3). c) f(x)=sin² 3x/cos³ 4x

zebra: myślę,ze tak! 1/ ⁿ√ 3ⁿ*5ⁿ*9ⁿ*[ 1/(5ⁿ*9ⁿ) + 1/(3ⁿ*9ⁿ) + 1/ (3ⁿ *5ⁿ) 3*5*9*ⁿ√ 0+0+0 więc lima_n = 0 n →∞

Basia: 1. wyłącz 9ⁿ przed nawias 2. pomnóż i podziel przez sumę tych pierwiastków w 3 i 4 to ma być (1-3/x)^2x i [ (x+2) / (x+3) ]^3x ? próbuj i pytaj

Mermos: tak ma byc jak napisałas

Basia: niestety Zebro to nie tak, ale moja wskazówka tez do kitu tw. o trzech ciagach 9ⁿ ≤ 3ⁿ+5ⁿ+9ⁿ ≤ 3*9^{n n}√9ⁿ ≤ ⁿ√3ⁿ+5ⁿ+9ⁿ ≤ ⁿ√3*9ⁿ 9 ≤ ⁿ√3ⁿ+5ⁿ+9ⁿ ≤ 9ⁿ√3 ⁿ√3 → 1 czyli ten ciąg → 9

Mateusz: W pierwszym skorzystałbym z twierdzenia o trzech ciągach. Mianowicie: ⁿ√9ⁿ≤ⁿ√3ⁿ+5ⁿ+9ⁿ≤ⁿ√9ⁿ+9ⁿ+9ⁿ=ⁿ√3*9ⁿ limⁿ√9ⁿ=9 n→∞ limⁿ√3*9ⁿ= 9*limpm{3}=9 n→∞ więc limⁿ√3ⁿ+5ⁿ+9ⁿ=9 n→∞

zebra: 2/mnożymy i dzielimy przez (√n² +2 +√n² -3) by otrzymać ze wzoru a² - b² = (a-b)(a+b) ( √n² +2 - √n² - 3 ) ( √n² +2 +√n² +2 ) -------------------------------------------------------------- √n² +2 +√n² -3 n² +2 - n² +3 5 → 5 = --------------------------------------- = ---------- n( √ 1 +2/n² + √1 - 3/n² ) → ∞*(1 +1) lim a_n = 0 n →∞

zebra: Basiu! a drugie! Dobrze?

Basia: no to miło, że sie zgadzamy; mała przerwa na dobrą herbatkę i paskudny nałóg teraz u mnie będzie

Basia: oczywiście, że tak

Mateusz: {n²+2} + √n²-3 lim√n²+2 - √n²-3 = | mnożymy razy 1, czyli ------------------------- n→∞ {n²+2} + √n²-3 ({n²+2} - √n²-3)*({n²+2} + √n²-3) więc lim------------------------------------------------------= ({n²+2} + √n²-3) (n²+2)-(n²-3) 5 =lim ------------------------------- = lim----------------------------=0 ({n²+2} + √n²-3) ({n²+2} + √n²-3)

zebra: No popatrzcie!.... faktycznie! " trzy ciągi" wywiało mi? a drugie ?

zebra: Mateusz! moje obliczenia w 2/ poprawne! .

Mateusz: Pochodne: a) f'(x)= 12x² -25x⁴+4x b) f'(x)= 40x⁴-54x²-12x-5 (mam nadzieję, ze się nie rypłem przy mnożeniu ) c) już liczę.

Mateusz: zebra, a moje obliczenia w drugim są złe?

Mermos: zebra napisał(a) ( √n² +2 - √n² - 3 ) ( √n² +2 +√n² +2 ) -------------------------------------------------------------- √n² +2 +√n² -3 ale tutaj powinno być ( √n² +2 - √n² - 3 ) ( √n² +2 +√n² -3 ) -------------------------------------------------------------- √n² +2 +√n² -3 tak?

zebra: c/ poprawiam się mam taką nadzieje 6sin3x( cos4x +sin3x)/ cos⁴(4x) tak? czy sie walnęłam w rachunkach

Mateusz: Pochodna c) Jak się pomyliłem to niech ktoś mnie poprawi (6sin3x*cos3x)(cos³4x) - (-12cos²4x*sin4x)(sin²3x) f'(x)=-------------------------------------------------------------------- (cos³4x)²

Mateusz: Mermos, przykład c wygląda tak: sin²3x f(x)=----------- cos³4x Bo ja z takiej funkcji liczyłem pochodną

zebra: Mateusz! "strzał" równoczesny 22: 27 ale u mnie "elegancja" w zapisie ostatecznym Poprawiłam sie za poprzedni "niewypał"

Mermos: Mateusz a przy tych pochodnych jakie "zasady" liczenia się uzywa ?

Mateusz: Zebra, aha spoko. Mermos, a wykładał Ci już ktoś pochodne? Bo muszę wiedzieć jaką masz wiedze o pochodnych.

Mateusz: Wiesz, każdy liczy inaczej pochodne. Ja korzystam ze wzorów, że tak nazwę podstawowych. To znaczy na pochodną sumy, iloczynu, ilorazu czy funkcji złożonej.

Basia: w 3 i 4 będziemy korzystać z tego, że 1 lim ( 1 + ---- )^x = e^x x→+∞ x 1 lim ( 1 - ---- )^x = e^-x x→+∞ x 3. 3 1 1 ( 1 - ---- )^2x = ( 1 - --------- ) ^2x*3/3 = [ (1 - ----------- )^x/3 ]⁶ x x x ---- ----- 3 3 no a to dąży do (e^-x)⁶ = e^-6x

zebra: No pomyliłam się ! moze pora iść spać

Mermos: Nie mialem wykładu a w sobote mam egzamin

Mermos: egzamin z ćwiczeń*

zebra: Mermos! rozwiazanie2/ dobrze Ci podałam tam gdzie wskazałeś bład! to tylko "chochlik" oczywiscie że √ n² - 3

Mateusz: Więc nie powineś mieć pochodnych, jeżeli nie było z tego wykładu albo był wykład a nie było ćwiczeń z tego. Pewnie masz ćwiczeniowcę, który wyprzedza materiał. W takim razie współczuję, bo stwarza tylko problemy studentom. Wiesz ciężko jest mi tłumaczyć tak przez internet...

Basia: 4. 1 (x+2)/ (x+3) = (x+3 -1) / (x+3) = ( 1 - ------- ) x+3 1 1 f(x) = ( 1 - ------ )^3(x+3-3) = [ ( 1 - ------ )^{(x+3) - 3} ]³ x+3 x+3 1 1 f(x) = [ (1 - ------ )^x+3 * ( 1 - ----- )^-3 ]³ x+3 x+3 1 1 f(x) = ( 1 - ------ )^-9 * [ ( 1 - ----- )^x+3 ]³ x+3 x+3 f(x) → ( 1-0)^-9 * (e^-x)³ = e^-3x

Mateusz: Basiu, mała poprawka e^-3 w tym ostatnim, bez x

Mateusz: Mermos, wiesz jak obliczyć pochodną z 3x²?

Basia: W ogóle bez x nie tylko w ostatnim, w przedostatnim też lim (1 + 1/x)^x = e lim ( 1 - 1/x)^x = e^-1 x→0 x→0 dalej jest ok. tylko na końcu 3. ma być (e^-1)⁶ = e^-6 4 (e^-1)³ = e^-3

Mermos: a mozesz wytłumaczyc?

Basia: ale co Mermos ? Ty w ogóle coś wiesz o pochodnych ?

Mateusz: Pytam się o to, bo obliczenie pochodnej z np. 3x² to podstawa. Więc tak: Mnożysz 2 (potęgę) razy to co stoi przed x. Czyli 2*3 daje Ci 6. I to jest początek pochodnej. A potem musisz odjąć 1 od potęgi, czyli 2-1 daje 1. Więc 6x¹ czyli 6x jest pochodną 3x², rozumiesz Jak tak to zrób 5x⁴ i napisz tu roziwązanie.

Mermos: tyle co nic wykładu ne mielismy bo wykładowca nas olał a na ćwiczeniach 90% grupy tylko przepisywała z tablicy bo mamy innego wykładowce od ćwiczeń i wykładu i na ćwiczeniach babka tylko swoje odklepała

Basia: no to od definicji by trzeba zacząć; podejmujesz się Mateusz ?

Mermos: 20x³

Mateusz: dobrze!

Mateusz: Oj wytłumaczenie obliczania pochodnej z definicji jest dla mnie za ciężkie. łatwiej jest wytłumaczyć zwykłym sposobem, aczkolwiek nikt mnie na studiach nie rozumie jak im tłumaczę

mruczek: ( xⁿ)^'= n*x^n-1 [k*f(x) ]^' = k* f^'(x) teraz liczymy: np: (20x³)= k*f(x) gdzie k=20 (bo stała f(x)= x³ n= 3 więc (20x³)^' = 20 * ( 3 * x^3-1) = 60 x²

mruczek: Oblicz teraz: f(x)= 5x⁴ g(x)= - 4x⁵

Basia: no przecież przynajmniej te podstawowe musisz pokazać z definicji gdzieś się to zaczyna; dokładnie od funkcji stałej i liniowej i tak krok po kroczku tylko trudność nie jest liniowa niestety; raczej wykładnicza bez definicji = podać "do wierzenia" (czyli bez dowodu) te podstawowe wzory i ćwiczyć

Mateusz: Wiesz, ja np. najpierw nauczyłem się liczyć pochodne normalnie a dopiero potem z definicji. ale to taki szczegół. Poza tym by pokazać liczenie pochodnej z definicji trzeba umieć granicę, a Mermos dał nam tu zadanka na forum, więc "lipton"

Mateusz: No, ale w każdym razie nie jestem w stanie wytłumaczyć tu rzeczy, o których piszesz Basiu, więc sobie odpuszczę, Pozdrawiam!

Mermos: f(x)= 5x4 = 20x³ g(x)= - 4x5 = -20x⁴

nocek: No i świetnie! tylko to "kropla" w morzu,ale zawsze coś! Kiedy to zaliczenie? może jeszcze coś nadrobimy?

Mermos: w tę sobotę

nocek: To były wzory ("suche") na pochodną f. potęgowej! Jak masz takie braki ?... to mogę z Tobą troszkę popracować! Załapiesz przynajmniej podstawowe wzory! Napisz czymasz ochotę na dalsze ćwiczenia?

Mermos: oczywiście tak

Mateusz: Nocek, ja już muszę lecieć, jutro tu zajrzę w każdym razie. Postaraj się wytłumaczyć coś z pierwiastkiem bądź potęgą. Generalnie, żeby obczaił funkcję złożoną Dobranoc

nocek: Acha !,do soboty jeszcze sporo można sie nauczyć! Przede wszystkim, masz napewno jakieś materiały, z których przynajmniej wzory możesz wykuć! bez znajomości podstawowych wzorów nie poradzisz sobie! Masz? ... czy dalej pisać?

Mermos: ta wzory mam

nocek: No i trzeba wykuć na "blachę" dawać dalej przykłady? podaj jakiś ! policzymy razem! masz ochotę? Ja mam czas wolny! Moge go dla Ciebie poświecić!

nocek: Decyzja i "krótka piłka"

Mermos: to podal przyklad moze cos wymysle

Mermos: podaj*

nocek: Napisz jakie zadania chcesz do obliczenia! Masz chyba ich sporo? Dawaj ! szkoda czasu!

Mermos: g(x)=(2x² - 5) ( 4x³ + x -3)

nocek: Noo! pięknie! masz funkcje g(x) = h(x) * p(x) czyli iloczyn dwu funkcji zad. można rozwiązać na dwa sposoby 1/ wszystko wymnozyć i policzyć pochodną kazdego składnika! a to już znasz! powymnażaj uporządkuj ! i policz tak jak k*xⁿ ja w tym czasie napisze drugi sposób z pochodnej iloczynu obydwasposoby musza dać ten sam wynik! wiec przy okazji sprawdze czy ten pierwszy dobrze policzyłeś To TY do dzieła! a ja pisze ten drugi OK?

Mermos: g'(x)= 4x(4x³+x-3) + 2x²-5 (12x²+1(od tego x ) a "-3" opuszczamy? ze wzoru (f(x)*g(x))'

Basia: dobrze tylko 2x² -5 musi być w nawiasie popraw póki "nocek" gdzieś fruwa i kombinuj dalej

Mermos: g'(x)= 4x(4x³ + x - 3) + (2x² - 5) (12x² + 1). ale czy to już jest rozwiązanie końcowe ?

Basia: nie; teraz wykonujesz normalne rachunki; pozbywasz się nawiasów i redukujesz wyrazy podobne

nocek: 2/ sposób ze wzoru na pochodną iloczynu dwu funkcji: Napiszę CI wzór i zobaczysz juz jak to sie oblicza! g(x)= h(x) * p(x) to g^'(x) = h^"(x) * p(x) + h(x) *p^'(x) czyli g^'(x)= ( 2x² - 5)^' *(4x³ +x -3) + ( 2x² -5)*(4x³ +x -3)^' pochodna stałej (czyli bez "x" = 0 np (5)^' = 0 (-3)^' =0 (√2)^'=0 bo nie ma tu "x" czyli pochodna = 0 g(^'x) = ( 4x +0)*( 4x³ +x -3) + ( 2x² - 5)( 12x² +1 +0 ) = 4x( 4x³ +x -3) + ( 2x² -5)( 12x² +1) tyle ( można jeszcze wymnożyć i uporzadkować wtedy wyjdzie Ci taka jak z 1/ sposobu! x² +2x np; f(x) = ---------------- 3x² - 5 to iloraz czyli f^'(x) = h^'(x) *p(x) - h(x) * p^'(x) ------------------------------------- p²(x) h(x) ---- licznik p(x) --- mianownik dzielenie w pochodnej przez mianownik do kwadratu ( taki jak jest pierwotnie tylko do kwadratu) mówimy tak; poch liczn * mianownik minus licznik * poch mianow. i wszystko przez mianownik podniesiony do kwasratu! w iloczynie podobnie tylko + i nie ma mianownika! Oblicz teraz taką f(x) = ( 3x -6) ( x² - 3x) jestes tam jeszcze?

nocek: No jak ja biedna, "bezradna " mogę Ci pomóc? nie czytasz tego co Ci napisałam! Miałeś wymnożyć i dopiero póxniej liczyć pochodną

nocek: Basia ! Masz siłę? ... pomóz biednemu "studentowi" ja ide na "paskudztwo"

Mermos: f'(x)= (3x-6) * (x²-3x) + (3x - 6) * (x² - 3x) f'(x)+ (3x - 0)* (x²-3x) + (3x - 6) * (2x - 3x)

Mermos: f'(x)= (3x - 0)*(x²-3x)+(3x-0) *(2x-3x)

Mermos: żle chyba poniewaz przy (3x-6) nie ma ' czyli (6)=(6) jak by było (6)'= 0 tak?

Basia: no nie f'(x) = (3x-6)'*(x²-3x) + (3x-6)*(x²-3x)' (3x-6)' = 3 (x² - 3x)' = 2x -3 i dopiero dalej wiesz dlaczego ?

nocek: Byłoby! .... ale nie jest Zapamietaj (x)^' = 1 (3x)^' = 3 (- 5x)⁼ -5 bo jak masz ze wzoru? xⁿ = n*x^n-1 więc x= x¹ czyli (x¹)^' = 1*x^{1-1) = 1*x⁰ =1*1=1 popraw wiec zad ! i ni pisz juz tych zerrrrrrrr podałam Ci po to byś widział gdzie podziała się stała funkcji ok? czekam na poprawę zad

nocek: To jak "tabliczka " mnożenia ! jak poćwiczysz na prostych przykładach ! to da efekty

Mermos: f'(x)=(3x-6) * (x² - 3x) + ( 3x-6) *(x² - 3x) f'(x) = 3*(x² -3x) +(3x-6)*(1-3) f'(x)=3*(1-3)+(3-6)*(1-3) ... f'(x)=0

Basia: Mermos nie bierz do siebie tego co napiszę do "nocka" bo to nie Twoja wina. Jak Ci się "nocku" podoba taki "rachunek różniczkowy"; wykuć wzory na blachę i liczyć nie wiadomo co i po co ? Tak to małpki w klatce może można trenować (a i to nie wiem czy nie wtrącili by się obrońcy praw zwierząt), ale nie ludzi, którzy powinni wiedzieć po co robią, to co robią i dlaczego tak, a nie inaczej. Ręce opadają.

nocek: Mermoz! raz tylko obliczasz pochodna i koniec natym! a ty liczysz znowu nastepną Nie odp powinna być f^'(x)= 3( x² -3x) + (3x -6) * ( 2x -3) i tyle! dalej juz nie liczymy

nocek: Właśnie kończę tę "zabawę " bo rece mi opadły! Dobranoc!

Basia: Teraz to do Ciebie: f'(x)=(3x-6)' * (x² - 3x) + ( 3x-6) *(x² - 3x)' policz najpierw (3x-6)' = i (x² -3x)' = napisz odpowiedź

Mermos: aha

Mermos: dobranoc

Mermos: (3x-6)'= 3 (x² -3x)'= (2x-3)

nocek: No i Basia!..... wystraszyłaś studencika!

nocek: Widzę ,ż p. Jakub ("zmniejszył " nam czcionkę! To juz pora .... nie mam okularów

Basia: no to teraz podstawiamy i mamy f'(x) = 3(x²-3x) + (3x-6)(2x-3) i już tylko wykonujemy działania f'(x) = 3x² - 9x + 6x² - 9x - 12x +18 = 9x² - 30x + 18 i to wszystko

Basia: To nie Jakub; czasem tak się dzieje gdy ktoś użyje niechcący jakiejś kombinacji klawiszy

nocek: No super! Mermos!... literki zmalały! ... a wynik dałes poprawny! Dasz rade ! do soboty daleko! Basia słusznie mi zwróciła uwagę! Powinienes zacząc od def. pochodnej! czyli granicy ilorazu różnicowego funkcji! Wtedy dopiero bys sie wystraszył!

Mermos: no dobrze nie bede wiecej zabierał Wam czasu a i samemu musze spać rano o 6 do pracy wpadne po 16 zobaczyć dobranoc

Basia: Jesteś tam jeszcze ?

Basia: Dobranoc

Jakub: Basia ma racje. Czasami zła kombinacja znaków prowadzi do przeniesienia wszystkiego do indeksu górnego. Już jest ok. Jak widać

Jakub: Dobranoc

Basia: Dziękujemy Jakubie ! Dobranoc

Mermos: No w końcu działa już myślałem że pozostanie mi tylko niewdzięczna książka do nauki

Mermos: Dobra ja się zbieram na wykład będę po 20 może ktoś chętny wtedy mi pomoże ..

Basia: Napisz wtedy raczej nowy post, bo tu już strasznie trudno się w czymkolwiek połapać.