granica ciagu pomocy Magda: oblicz granicę ciągu pomocy

	1+2+22+...+2n
lim
	3n+1

n→∞ więc w liczniku jest ciag geometryczny i przedstawiam go za pomocą sumy do wzoru S_n=1*¹⁻²ⁿ₁₋₂ dobry wzór na sume tego ciągu Suma wynosi w takim razie S_n=¹⁻²ⁿ₋₁ S_n=−1+2ⁿ i to wstawiam do licznika dobrze jest ta suma policzona

Jack: dobrze.

Jola: Chyba, źle. S_n=2ⁿ⁺¹ − 1

Jack: Jak policzysz sumę dla tylko pierwszego wyrazu (czyli n=1)? Wiesz, że ma wyjść 1.

Jola: No, tak. Ale jak policzysz wszystkie to: 1+ 2 + ......+ 2ⁿ > −1 +2ⁿ

Jack: ok, przyznaję rację. Żeby zachować znaczenie "n" z zadania, wzór będzie wygladał tak, jak zapisała Jola. Ja po prostu zmieniłem sens "n". "n" to nie liczba wyrazów, ale potęga 2.

Magda: do Jola: możesz powiedzieć skąd to Ci wyszło, znaczy te 2ⁿ−1 nie wsytarczy S_n=2ⁿ−1 Prosze o odp

Magda: poprawka znaczy skąd wyszło Tobie te 2ⁿ⁺¹ −1

Stachu: proponuję kompromis w liczeniu tej sumy pomińcie sobie 1, i policzcie sumę tylko tych dwójek i do tej sumy dodajcie 1 i po sprawie S_n=2*¹⁻²ⁿ₁₋₂

Jola: Ze wzoru dla ciągu geometrycznego dla n+1

	qn + 1 − 1
Sn+1 = a1 *		bo jest n+ 1 wyrazów
	q − 1

Jack: Magdo, wstawiając do wykłądnika w liczniku "n" chciałaś przez to zasygnalizować, że w ciagu masz "n" wyrazów. Tymczasem jest ich tam n+1. Stąd zmiana wykładnika o jeden.

Stachu: Bo wyrazów jest n+1, jest n dwójek i jeszcze ta jedynka z przodu

Magda:

	1−qn
czyli z wzoru an sumę: Sn = 1*
	1−q

	1−2n+1
Sn= 1*
	1−2

S_n= 2ⁿ⁺¹−1 a skad mam wiedzieć kiedy tych wyrazów jest n a kiedy n+1

Stachu: A tak w ogóle to jesteście pewni?bo mi się coś tu nie chce zgadzać,może ja czegoś nie łapię, ale wg. wzoru 2ⁿ⁺¹−1 to S₁=3 co się nie chce zgadzać w ogóle, bo S₁=1, i teraz tak jak napisała Magda bierzemy ciąg {1,2,4,8,16,.......} ciąg ten ma wyrazów n, i wzór na sumę tego szeregu będzie S_n=1*¹⁻²ⁿ₁₋₂, przykładowo policzmy np. S₁=1, dla n=2 S₂=3 i wszystko się pięknie zgadza, więc teraz moje pytanie: co dalej?

Jack: pytanie co, to jest to Twoje "n". To nie ilość wyrazów, ale potęga wyrazu do którego włącznie z nim będziemy liczyli sumę.

Jack: S₁ oznacza więc sumę 2⁰ +2¹=3

Stachu: dobrze to w takim razie zmien to n na m i po sprawie, niech ciąg ma m wyrazów bo to 2ⁿ tylko mąci, jeżlei spojrzysz na ten ciąg w taki sposób: [1,2,4,8,16,.....} a nie będziesz się babrać w {1,2,2²,...,2ⁿ} to będzie grać

Jack: Magdo, musisz spojrzeć sobie zawsze na potęgi i zaobserwować od jakiej liczby się zaczynają. U nas zaczynały się o 0 i szły do n. Więc masz n+1 wyrazów. Gdybyś miała 2¹+2²+2³+2⁴+... +2ⁿ to masz n wyrazów.

Jack: wlasnie dla tego uproszczenia zgodziłem się wczesniej z Jolą. Nie chciałem mącić. Niemniej, mając 2⁰+2¹+2²+...2ⁿ i chcąc policzyć np. sumę do 2² włącznie, policzymy wstawiając do wzoru zamiast "n" liczbę 2 i wszystko się zgodzi. Myślę że warto zwiększyć indeks o 1, nie wprowadzając dodatkowej zmiennej (ale to kwestia konwencji).

Stachu: nie zgadzam się co do twojego S₁, S₁=a₁ ==> S₁=1

Magda: a jesli zaczynałyby sie np od 2 potęgi czyli ciag wygladałby tak: 4, 8,16,32.... to ile wtedy mam wyrazów

Stachu: jeżeli n→∞ to mówimy o szeregu geometrycznym a on ma coś ok mnóstwa wyrazów(czyt.nieksończenie wiele)

Jack: Nie bardzo rozumiem o czym piszesz. S₁ to suma wyrazów do potęgi pierwszej włącznie. Czyli S₁=2⁰+2¹ Myślę, że obaj rozumiemy sprawę (mam nadzieję, że Magda też) i nie ma sensu się spierać. Są dwa alternatywne sposoby zapisu, oba poprawne.

	1−2n+1
Niemniej wzór na Sn podany przez Jolę (Sn=1*		), a nie przeze mnie
	1−2

	1−2n
(Sn=1*		), jest poprawny.
	1−2

Z zadaniu "n" oznacza potęgę, podobnie jak w powyższym wzorze Joli.

Jack: tak czy siak (tzn z 1, czy bez niej) jest ich nieskończenie wiele.

Stachu: jeżeli piszesz ciag: {4,8,16,...} to znaczy że on się nie kończy, zapis jest ważny, jezeli zapiszesz np. {4,8,16,...,64} czyli {2²,8,16,...,2ⁿ⁼⁶} to wyrazów masz n−2

Magda: namieszaliście mi strasznie, próbuję to teraz zrozumieć jesli ,można to napiszcie mi końcową wersje z wytłumaczeniem w skrócie, poproszę jesli już dojdziecie do porozumienia

Stachu: Ano, Jack ma rację dość mącenia tylko, że we wzorze na sumę szeregu zazwyczaj bierzemy n jako numer wyrazu, ale jeżeli zrobimy taki ciekawy myk żeby wziąć tam potęgę dwójki to faktycznie będzie to dziwne ale będzie grało, chociaż zapis Sn dla n=0 to trochę straszy

Stachu: Przepraszam chodzi o to, że ja wziąłem się za to troszkę inaczej, ale jezeli pozostaniemy przy wzorze Joli czyli Sn=2{n+1}−1 to n tak naprawdę nie oznacza numeru wyrazu ciągu tylko potęgę dwójki, jak wiadomo 2⁰=1 więc suma tego szeregu w liczniku to suma dwójek od potęgi zerowej, tylko w tym momencie musisz przyjąć że n zaczyna się od 0 a nie jak zazwyczaj od jedynki

Jack: Stachu, zostawiam to Tobie − niech jeden z nas zapiszę sensowną wersję

Magda: własnie bo ja już mam taki megamix że nie pytajcie

Jack: Wyżej masz już napisane jak to rozumieć

Stachu: mam nadzieję,że nie namącę bardziej,ale się postaram czyli Magdo zostańmy przy wzorze który podała Jola, tak jak już napisałem to nasze biedne n to jest potęga dwójki, ten twój licznik możesz również zapisać tak: 2⁰ + 2¹ + 2² +... 2ⁿ, i w tym wypadku zaczynamy numerować n od 0, czyli n=0,1,2,.....

Jack: ...czyli wykorzystując wzór Joli możesz licznik zastąpić wyrażeniem na sumę S_n=2ⁿ⁺¹−1

Magda: a jeśli n zaczynałoby sie o 2 anie od 0 to co wtedy? jak to zapisać?

Jack: 2²+2³+2⁴+...2ⁿ ?

Stachu: i teraz dochodzimy do naszego wzoru, teraz napiszę postać ogólną w której zamiast n pojawi się m, nie przejmuj się tym bo zaraz Ci wytłumaczę czemu tak zapisałem i nie będę wprowadzał dodatkowej zmiennej, to m będzie tylko przejściowe mamy więc: S_m=a₁*^1−qm_1−q to m jest numerem indeksu wyrazu ciągu ( {a₁,a₂,...,a_m}

Stachu: coś mnie ominęło, jeżeli rozumiesz to nie przejmuj się tym co napiałem na górze jeżeli nie to mogę dokończyć może załapiesz bo własnie chciałem wytłumaczyć skąd wzięło się takie numerowanie i to n+1

Magda: to dokończ dokończ a ja się skupiam

Stachu: no to wracając do tematu, wypada jeszcze powiedzieć że m jak zauważyłaś numerujemy od 1(mamy m=1,2,3,.....) własnie to mi się nie podobało i przez jakiś czas nie potrafiłem załapać do końca koncepcji Jacka bo nie chciało mi się to zgadzać, ale jeżeli uznamy że to nasze m=n+1 w momencie gdy n zaczynamy numerować od 0 to wszystko się zgadza bo dla n=0 (czyli pierwszy wyraz w liczniku 1=2⁰) m czyli numer indeksu równa się 1, rozumiesz? w pewnym sensie uzależniasz numer indeksu wyrazu ciągu od potęgi dwójki, gdybyś miała w liczniku 2 + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ to nie byłoby żadnych problemów bo numerujesz tutaj n od 1(n=1,2,3,...itd.) i potęga dwójki jest równocześnie numerem indeksu, co do twoich pytań to jeżeli w liczniku byłoby np. 2³ + 2⁴ + ... + 2ⁿ to wzór byłby 2ⁿ⁻²−1, rozumiesz dlaczego? jeżeli chcesz uzależniać numer indeksu od potęgi dwójki to wychodzisz od tego że jeżeli masz potęgi od 1 do n to sa one równoczesnie numerkami indeksu wyrazów, ale jeżeli zaczynasz np. od 3 potęgi i lecisz do n to brakuje Ci dwóch potęg nie?(pierwszej i drugiej) w takim razie musisz udjąć te dwie w numerkach indeksu jeżeli zaś zaczynałaś od 0 to masz o jedną za dużo bo normalnie lecisz od 1 a tu nagle pojawia się coś przed ta jedynką, musisz to więc dodać.

Stachu: kurcze ale się rozpisałem,ale mam nadzieje że rozumiesz, jak nie to pisz

Magda: dobraaa nieźle sie rozpisałeś postaram się to zrozumieć, już nie bede cię meczyć, wystarczy dziękuję ci bardzo za pomoc mam nadzieję ze zrozumiem

Stachu: aha jeszcze jeden mały szczegół, taki zabieg kosmetyczny, tak naprawdę ten wzór powinien wyglądać S_n+1=2ⁿ⁺¹−1, chodzi o to pogrubienie, bo jak wyjaśniłem powyżej numerek indeksu to numer potęgi(n) powiększony o 1 no to dobranoc

Magda: a jeszcze jedno tak na szybko mam ciąg: −2,4,.... −2n to wtedy jak wygląda wzór na sume

Jack:

	1−(−2)n
Sn=−2*
	1−(−2)

Magda: i dl;aczego nie mam tu n+1 wyrazów bo są same 2 tak znaczy chodziło mi głownie o to bo mam wzór ciągu: 1−2+3−4+5−...− 2n i to rozbijam na dwa ciagi jeden arytmetyczny:1,3,5,... a drugi geometryczny:−2,−4,−6..−2n i wzór na sume tego drugiego to tak jak napisałeś Jack

Jack: nie takie same. PIerwszy raz powstał przez −2¹ (w pierwszym wyrazie występuje potęga 1), potem −2²=4, −2³=−8 itd

Jack: ups... myślałem ze tam jest potęga... eh.

Magda: no wiem, że nie takie same ale chodzi mi głownie o ten ciag 1−2+3−4+5... −2n i rozbijam go na dwa: aytmetyczny: 1,3,5,... i geometryczny: −2,−4,...,−2n i jak zapisac ich sumy

Jack: 1−2+3−4+5−...− 2*n= (1 +3 +.... +2n−1) − (2+4+6+...+2n) Teraz zastosuj wzoru na sumę ciągu arytmetycznego

Jack:

	1+2n−1
pierwszy=		*n
	2

	2+2n
drugi=		*n
	2

Magda: ok dzięki wielkie za pomoc juz dziś was więcej nie męcze ułom ze mnie czasem

Jack: dobranoc