proste w przestrzeni dankan: znaleźć punkt przecięcia prostych : l1: l:2 x+2 y−4 z x+2 y−4 z −−−− = −−−− = −−−− −−−−− = −−−− = −−−− 3 −1 5 1 −5 3 Jak się do tego zabrać ?, Na pierwszy rzut oka widać, ze oba rónania sa spełnione dla x=−2 y=4 oraz z=0 Mógłby ktos to rozpisać i wyjasnić ?

Basia: znaleźć punkt wspólny to znaczy rozwiązać układ równań napisz te równania porządnie, bo zupełnie nie wiadomo co to ma być

dankan: równaienie 1 prostej: (x+2)/3 =(y−4)/−1=z/5 równanie 2 prostej : (x+2)/1=(y−4)/−5=z/3 no wlaśnie nie umiem rozwiązac tego okładu rozpisując go...

dankan: równanie 1 prostej: (x+2)/3=(y−4)−1=z/5 równanie 2 prostej: (x+2)/1=(y−4)/−5=z/3 nie potrafie tego rozpisać

Basia: czy to ma być tak ?

x+2		y−4		z
	=		=
3		−1		5

x+2		y−4		z
	=		=
1		−5		3

dankan: tak

Basia: no to z (1) masz

	5(x+2)
z=
	3

	5(y−4)
z=
	−1

a z (2)

	3(x+2)
z=
	1

	3(y−4)
z=
	−5

stąd

5(x+2)		3(x+2)
	=
3		1

5(x+2)=9(x+2) 5x+10=9x+18 −4x=8 x=−2

5(y−4)		3(y−4)
	=
−1		−5

−25(y−4)=−3(y−4) −25y+100=−3y+12 −22y=−88 y=4

	5(−2+2)
z =		=0
	3

P(−2,4,0)

AS: Podaję strukturę rozwiązania problemu Wyznaczyć punkt przecięcia dwóch prostych a) Dane są równania prostych (x – x1)/a1 = (y – y1)/b1 = (z – z1)/c1 i (x – x2)/a2 = (y – y2)/b2 = (z – z2)/c2 b) Rozwiązać układy równań | (x – x1)/a1 = (y – y1)/b1 | (y – y1)/b1 = (z – z1)/c1 | (x – x2)/a2 = (y – y2)/b2 | (y – y2)/b2 = (z – z2)/c2 ze względu na x i y oraz względem y i z c) Jeżeli otrzymane wartości y są różne,proste nie mają punktu wspólnego,jeżeli równe to mają. Można też przepisać podane równania na postać parametryczną. Otrzymujemy wówczas równania: [x = a1s + x1 i x = a2t + x2 [y = b1s + y1 y = b2t + y2 [z = c1s + z1 z = c2t + z2 Rozwiązujemy układ równań: a1s + x1 = a2t + x2 b1s + y1 = b2t + y2 c1s + z1 = c2t + z2 Ze względu na s i t (czyli rozwiązujemy układ złożony z dwóch równań, a potem sprawdzamy, czy otrzymane liczby spełniają też trzecie równanie) Jeśli układ jest oznaczony, to wstawiając otrzymane s lub t do odpowiedniego równania prostej, dostajemy współrzędne punktu −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Już z układu równań widać,że punktem wspólnym jest punkt P(−2,4,0) Przedstawiam równania w postaci parametrycznej x = −2 + 3*s x = −2 + t y = 4 − s y = 4 − 5*t z = 5*s z = 3*t Porównuję dwa pierwsze równania −2 + 3*s = 2 + t 3*s − t = 0 4 − s = 4 − 5*t ⇒ s − 5*t = 0 ⇒ s = t = 0 Wstawiając s i t do równań mamy x = −2 , y = 4 , z = 0