Ile wynosi cos(x+y) ? Bartek: Jeżeli: cosx+cosy=e , sinx+siny=f to cos(x+y) wynosi:

Tomek.Noah: mi wychodzi ecosx−fsinx−1 ale nei weim czy to jest ostateczny wynik

Grześ: to chodzi chyba o wyznaczenie wyniku tylko poprzez wartości e i f

Basia: cos(x+y)=cosx*cosy − sinx*siny = cosx*(e−cosx)−sinx*(f−sinx) = ecosx−cos²x−fsinx+sin²x a sin²x−cos²x ≠ ani 1 ani −1 poza tym w odpowiedzi nie może chyba występować cosx i sinx spróbuj może z wzorów na sumę cosinusów i sumę sinusów cosx+cosy = 2cos^x+y₂cos^x−y₂ sinx+siny = 2sin^x+y₂cos^x−y₂ stąd 2sin^x+y₂cos^x−y₂=f 2cos^x+y₂cos^x−y₂=e

	f
cosx−y2 =
	2sinx+y2

	e
cosx−y2=
	2cosx+y2

f		e
	=
2sinx+y2		2cosx+y2

f*cos^x+y₂ = e*sin^x+y₂

	f
sinx+y2=		cosx+y2
	e

sin^2x+y₂+cos^2x+y₂=1

f2
	cos2x+y2+cos<span style="font-family:times; margin-left:1px; margin-right:1px">x+y2=1 /*e2
e2

cos^2x+y₂*(f²+e²)=e²

	e2
cos2x+y2=
	e2+f2

	e
cosx+y2= ±
	√e2+f2

posprawdzaj rachunki; mogłam się pomylić

Basia: poprawiam nieczytelną linię

f2
	cos2x+y2+cos2x+y2=1 /*e2
e2

Bogdan:

	x + y		x + y
cos2α = 2cos2α − 1 ⇒ cos(x + y) = cos(2*		) = 2cos2(		) − 1
	2		2

	x + y		x − y
e = cosx + cosy = 2cos		cos
	2		2

	x + y		x − y
f = sinx + siny = 2sin		cos
	2		2

e2		x + y   cos2   2
	=
f2		x + y   sin2   2

e2		x + y   cos2   2
	=
f2		x + y   1 − cos2   2

	x + y		e2
cos2		=
	2		e2 + f2

	e2		e2 − f2
cos(x + y) = 2 *		− 1 =
	e2 + f2		e2 + f2

Trivial: Można to rozwiązać również z liczb zespolonych (tak wiem, że nie ma ich w liceum, ale łatwo można tym sposobem sprawdzić jaki powinien być wynik ). cosx + cosy = e sinx + siny = f cos(x+y) = ? Niech: i² = −1 a = e^ix b = e^iy Wtedy:

	1
sinx =		(a − a−1)
	2i

	1
cosx =		(a + a−1)
	2

	1
siny =		(b − b−1)
	2i

	1
cosy =		(b + b−1)
	2

	1
cos(x+y) =		[ab + (ab)−1]
	2

1		1
	(a + a−1) +		(b + b−1) = e /*2
2		2

1		1
	(a − a−1) +		(b − b−1) = f /*2i
2i		2i

a + a⁻¹ + b + b⁻¹ = 2e a − a⁻¹ + b − b⁻¹ = 2if Dodajemy a następnie odejmujemy stronami: 2a + 2b = 2e + 2if /:2 2a⁻¹ + 2b⁻¹ = 2e − 2if /:2 a + b = e + if

1		1		a + b
	+		= e − if →		= e − if
a		b		ab

Szukamy tylko ab, a więc podstawiamy znane wyrażenie na a+b:

e + if
	= e − if
ab

	e + if
ab =
	e − if

Znamy ab. Podstawiamy:

	1		1		e + if		e − if
cos(x+y) =		[ab + (ab)−1] =		(		+		) =
	2		2		e − if		e + if

	1		e2 − f2 + 2ief +e2 − f2 − 2ief		e2 − f2
=		*		=		.
	2		e2 + f2		e2 + f2

No dobra, może nie wygląda na proste, ale jak się robi w pamięci to idzie szybciej.