Wzór na resztę z dzielenia Bogdan: Zapraszam wszystkich do wyprowadzenia wzoru na obliczenie reszty r z dzielenia dowolnej liczby całkowitej c przez dowolną liczbę całkowitą d różną od zera. c − dzielna, c∊ℂ d − dzielnik, d∊ℂ\{0} r − reszta z dzielenia c przez d, r ≥ 0

Godzio: [x] − część całkowita liczby

	c		c
c = d * [		] + r ⇒ r = c − d * [		]
	d		d

Doszedłem do czegoś takiego

Godzio:

	c
c = k * d + r gdzie k to jest ilość d w c inaczej część całkowita z [		]
	d

takie uzasadnienie wystarczy ?

Trivial: r = c mod d.

Bogdan: Podam przykłady: 23 : 5 = 4 + R3 (4 + reszta 3) 23 : (−5) = −4 + R3 −23 : 5 = −5 + R2 −23 : (−5) = 5 + R2 Sprawdź Godzio, czy otrzymasz takie wyniki wzorem, który podałeś. Chodzi o wzór zrozumiały dla ucznia obecnej szkoły średniej. Wyrażenie podane przez Trivial jest niezrozumiałe (niestety) dla współczesnego ucznia.

Trivial: Zależy od tego, czy interesował się programowaniem czy nie.

Godzio: Jeszcze pomyślę

Bogdan: Mam Trivial na myśli dowolnego ucznia szkoły średniej, również takiego, którego wiedza ogranicza się do obowiązkowego materiału, przyjmijmy, że na poziomie rozszerzonym.

Trivial: Bogdan, zależy też od tego, jaką konwencję masz na myśli. Są dwie: jedna, która dopuszcza ujemną resztę i druga, w której reszta musi być dodatnia. Wnioskuję, że chodzi Ci o tą drugą.

Godzio: Nie wiem czy o takie coś chodzi, ale z tego co sprawdzałem to chyba wszystko gra

	⎧	c − |d * [cd] | dla c ∊ Cnieujemnych
r =	⎨
	⎩	||c| − |d * (1 + [cd])| c ∊ C−

Bogdan: Podałem, że reszta jest nieujemna w każdym przypadku (r ≥ 0)

Godzio: tutaj też nigdy nie jest ujemna, przy c ∊ C₋ na całe wyrażenie jest nałożona bezwzględność

Bogdan: Godzio − wzór ma być w postaci jednego zapisu, bez rozbijania na różne przypadki (czyli bez zapisów z klamrą)

Trivial: O, rzeczywiście podałeś. r ≥ 0.

Godzio: Pomyśle nad tym jutro o ile znajdę czas bo dzisiaj chyba już nie myślę

AS: r = c − k*d > 0 , k ∊ C , k największa z możliwych spełniająca warunek dla r

	37
np. dla		mamy r = 37 − 2*15 = 7
	15

Mateusz: Mamy liczby całkowite c i d gdzie d≠0 co zresztą Bogdan juz zapisał oznaczmy iloraz np przez p wtedy mozna zapisac takie równanie tzn istnieją takie liczby całkowite p i r dla których to równanie jest spełnione przy czym musi byc warunek 0≤r≤|d| c=pd+r

Basia: w tym wzorze mają występować tylko zmienne: c,d o to chodzi

Mateusz: Teraz pozostaje tylko z tego wyznaczyc r zresztą AS mnie uprzedził troche wczesniej kiedy pisałem i jednoczesnie myslałem.

Basia: niestety nie; k też nie może się tam pojawić

Basia: chodzi właśnie o zapisanie k przy pomocy c,d

AS: [(c − d) − d] − d ... aż dojdę do najmniejszej wartości > 0 dla c = 37 , d = 15 mamy 37 − 15 = 22 , 22 − 15 = 7 , dalej 7 − 15 < 0 czyli reszta r = 7

Basia: nie o to chodzi ! drugi wzór Godzia (ten "z klamrą" jest dobry) nie wiem dlaczego Bogdanowi się nie podoba

think: reszta r z dzielenia przez liczbę całkowitą ≠ 0 d dla liczby dodatniej całkowitej c d = cs + r → r = d − cs czyli od d odejmujemy wielokrotności dzielnika aż do otrzymania liczby mniejszej od c ale nieujemnej np d = 25 c = 7 r = 25 − 7 = 18 > 7 = c r = 18 − 7 = 11 > 7 = c r = 11 − 7 = 4 < 7 = c czyli reszta z dzielenia to 4. W przypadku liczb ujemnych dodajemy dzielnik aż otrzymamy liczbę dodatnią d = −17 c = 6 r = −17 + 6 = −11 < 0 dodajemy dalej r = −11 + 6 = −5 < 0 dodajemy dalej r = −5 = 6 = 1 > 0 kończymy dodawanie r = 1

think: czyli proponuję funkcję signum za moich czasów była ona w liceum, no ale czasy się zmieniły nie koniecznie na lepsze.

Bogdan: Dzień dobry.

	1
Pole trójkąta przy danych długościach boków; a, b, c i p =		(a + b + c) obliczamy
	2

z wzoru: P = √ p(p − a)(p − b)(p − c) , długość przyprostokątnej b w trójkącie prostokątnym przy danych długościach przyprostokątnej a oraz przeciwprostokątnej c obliczamy wg wzoru: b = √c² − a², pochodną funkcji f(x) = axⁿ wyznaczamy z wzoru: f'(x) = anxⁿ⁻¹, itd. Podałem przykłady prostych wzorów, bez klamer z rozbiciem na taki czy inny przypadek, bez wielokrotnego wykonywania jakiegoś rachunku. Jeden prosty wzór − o taki wzór chodzi w przedstawionym zagadnieniu. W tym wzorze występują dwie dane liczby: c (dzielna będąca liczbą całkowitą) i d ≠ 0 (dzielnik też będący liczbą całkowitą). Po wstawieniu tych dwóch liczb do wzoru otrzymamy liczbę całkowitą nieujemną, która jest resztą z dzielenia c przez d. Chodzi więc o prosty wzór na wyznaczenie reszty r (r ≥ 0) z dzielenia liczby całkowitej c przez liczbę całkowitą d różną od zera.

think: no to r = c − ds dla ds ∊ (c − d, c >

Godzio: "s" nie jest dostępne

think: a co poszło na balangę sylwestrową czy soo?

AS: Moim zdaniem,formuły jakiej oczekuje Bogdan nie ma,gdyż zawsze będzie wymagany iloraz c/d a tego formułą się nie znajdzie.

Basia: analizujemy na czerwono jest iloraz, na niebiesko dzielnik d

	23
23=4*5+3 4 = [		]
	5

	23		23
23=(−4)*(−5)+3 −4 = −[		]= −[		]
	5		|−5|

	−23
−23=(−5)*5+2 −5=[		]
	5

	−23		−23
−23=5*(−5)+2 5 = −[		]= −[		]
	5		|−5|

no i już widać

	c
r = c−d*[		]
	|d|

Wszystkiego najlepszego w Nowym Roku Bogdanie ! Jak zwykle miałeś rację. Taki wzór istnieje.

Basia: oj oczywiście nie dopisałam porządnie: to jest wzór

	c
r = c − sgn(d)*d*[		]
	|d|

Basia: można to jeszcze uprościć dla d>0 sgn(d)*d = d dla d<0 sgn(d)*d = −d czyli sgn(d)*d = |d|

	c
r = c − |d|*[		]
	|d|

Bogdan: Basiu Wzór na wyznaczenie reszty r (r ≥ 0) z dzielenia liczby całkowitej c przez liczbę całkowitą d różną od zera:

	c
r = c − |d| * [		], gdzie [x] to część całkowita liczby x.
	|d|

Życzę wszystkim w tym roku udanych odkryć

Basia:

ds: 5 % 2 =