Anka: W trójkącie ABC prowadzimy środkową CD. Udowodnij, że jeśli BC>AC to środkowa CD tworzy większy kąt z bokiem AC niż z bokiem BC.

Bogdan: Oznaczmy dla przejrzystości zapisów: |AC| = b, |BC| = a, |DC| = s, miary kątów: ACD = α, DCB = β Wiemy, że a > b oraz α i β są kątami ostrymi. Mamy wykazać, że jeśli a > b to α > β. Pola trójkątów ADC i DBC są oczywiście równe, więc (1/2)*bs * sinα = (1/2) * as * sinβ Dzieląc obustronnie ostatnią rowność przez s/2 otrzymujemy: bsinα = asinα. Stąd a / b = sinα / sinβ. Ponieważ a > b → a / b > 1 → sinα / sinβ > 1 czyli sinα > sinβ. W przedziale (0*, 90*) funkcja f(x) = sinx jest rosnąca, to znaczy, że jeśli sinα > sinβ to α > β co należało wykazać.