Granice Marek: Korzystając z tw. o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić, ze podane ciągi są zbieżne, a następnie wyznaczyć ich granice. Proszę bardzo o pomoc. Nie mam zielonego pojęcia jak to zrobić.

	2n
1) an=
	n!

	an
2) a1=2 , an+1=
	1+an

	n2
3) an=
	5n

Marek: Pomoże ktoś?

Trivial: 1)

	2n
an =
	n!

1. Wykażemy, że ciąg jest słabomalejący (indukcją): 1.1. n₀ = 1

	2
a1 =		= 2.
	1!

	2
a2 =		= 2.
	2!

Warunek jest spełniony. 1.2 ∀n > n₀: Z: a_n+1 ≤ a_n T: a_n+2 ≤ a_n+1

	2n+2		2n+1
		≤		/:2
	(n+2)!		(n+1)!

	2n+1		2n
		≤		/*(n+2)
	(n+2)!		(n+1)!

	2n+1		n+2		2n
		≤		*		/*(n+2)
	(n+1)!		n+1		n!

	n+2		n+2
an+1 ≤		*an (zauważamy, że		> 1)
	n+1		n+1

Warunek spełniony. Wniosek: Ciąg jest słabomalejący.

Trivial: 2. Teraz pokażemy, że ciąg jest ograniczony od dołu przez liczbę 0: T: ∀n: a_n ≥ 0 Dowód (indukcją): 2.1. n₀ = 1 a₁ = 2 ≥ 0 ⇒ warunek spełniony. 2.2. ∀n ≥ n₀ Z: a_n ≥ 0 T: a_n+1 ≥ 0

	2n+1
		≥ 0
	(n+1)!

	2		2n
		*		≥ 0
	n+1		n!

	2		2
		* an ≥ 0 / :
	n+1		n+1

a_n ≥ 0 ⇒ warunek spełniony Wniosek: Ciąg jest ograniczony od dołu przez liczbę 0.

Trivial: Z 1 i 2 wynika, że istnieje granica właściwa ciągu (a_n). 3. Obliczamy granicę: Niech lim a_n = g;

	2n+1
an+1 =
	(n+1)!

	2		2n
an+1 =		*
	n+1		n!

	2
an+1 =		* an
	n+1

a_n i a_n+1 dążą do g, a więc:

	2
g =		*g
	n+1

	2
g −		*g = 0
	n+1

	2
g(1 −		) = 0
	n+1

g = 0.

	2n
WNIOSEK: lim		= 0.
	n!

Koniec.

Trivial: 2) 1. Ciąg jest malejący, bo a_n > 0. 2. Ciąg jest ograniczony od dołu przez liczbę 0. 3. Wyliczamy granicę: g := lim_n→∞ a_n

	an
an + 1 =
	1 + an

a_n i a_{n + 1} dążą do g.

	g
g =		/ *(1 + g)
	1 + g

g(1 + g) = g g + g² = g g² = 0 g = 0.

Trivial: 3)

	n2
an =
	5n

1. Ciąg jest malejący, bo n² rośnie znacznie wolniej niż 5ⁿ. 2. Ciąg jest ograniczony od dołu przez liczbę 0, bo wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Jak ci się chce to możesz udowodnić tak jak pokazałem wyżej. 3. Wyliczamy granicę. g := lim_n→∞ a_n

	(n+1)2
an+1 =		/ *5
	5n+1

	n2 + 2n +1
5an+1 =
	5n

	n2		2n2		n2
5an+1 =		+		+
	5n		n5n		n25n

	2an		an
5an+1 = an +		+
	n		n2

...

	2g		g
5g = g +		+		/*n2
	n		n2

4gn² = 2gn + g 4gn² − 2gn + g = 0 g(4n² − 2n + 1) = 0 g = 0.

Trivial: Na końcu jest błąd, który i tak nic nie zmienia. Jest: 4gn² = 2gn + g 4gn² − 2gn + g = 0 g(4n2 − 2n + 1) = 0 g = 0. Powinno być: 4gn² = 2gn + g 4gn² − 2gn − g = 0 g(4n2 − 2n − 1) = 0 g = 0.