Aga 2: Aga 2: pomóżcie proszę nie mogę sobie poradzić: mam udowodnić,że jeżeli x,y,z są liczbami rzeczywistymi takimi,że x+y+z =1, to x*x + y*y + z*z ≥ 1/3

Kappa: Więc tak! (x+y +z)² = x² +y² +z² +2xy +2xz +2zy ze wzoru! ponieważ x+y +z =1 x*x +y*y +z*z = x² +y² +z² ponieważ; (**) wiemy że x² +y² +z² ≥ xy +xz +yz i z załozenia mamy; (x +y +z)²= 1 (x +y +z )² - 2(xy +xz +yz) = x² +y² +z² czyli podstawiając do (**) otrzymamy 1 - 2(xy +xz +zy) ≥ xy +xz +zy po przeniesieniu na prawą stronę 1 ≥ 3(xy +xz +zy) / : 3 xy +xz + zy ≤ 1/3 uwzględniając (** ) mamy że; x² +y² +z² ≥ 1/3 c.b.d.o.

Kappa: Aga! (**) x² +y² +z² ≥ xy +xz +zy wiemy z twierdzenia! bo 2( x² +y² +z² -xy - xz - zy) = [( x-y)² + ( x-z)² + (z -y)²] ≥0 czyli po podniesieniu do kwadratu otrzymamy 2x² +2y² +2z² ≥ 2xy +2xz + 2yz / : 2 x² +y² +z² ≥ xy +xz +zy --- i z tego skorzystałam w dalszym dowodzeniu! może ktoś zna inny sposób?