trygonometria dario: rozwiąż równanie 9x²+2√5=3(2+√5)x a nastepnie uzasadnij że istnieje taki kąt α że jedno z rozwiązań tego równiania jest sinusem kąta α a drugie kosinusem kąta α

Puch: Rozwiązujemy równanie: 9x2 + 2√5 = 3(2 + √5)x 9x2 − 3(2 + √5)x + 2√5 = 0. Δ = 9(2+√5)² − 4*9*2√5 = 9[(4 + 4√5 + 5) − 8√5] = 9(9 − 4√5) = = 9(4 − 4√5 + 5) = 9(2 − √5)². √Δ = 3*|2 − √5| = −3(2 − √5).

	−b − √Δ		3(2 + √5) + 3(2 − √5)		12		2
x1 =		=		=		=		.
	2a		18		18		3

	−b + √Δ		3(2 + √5) − 3(2 − √5)		6√5		√5
x2 =		=		=		=		.
	2a		18		18		3

Następnie: sin²α + cos²α = 1 sin²α = 1 − cos²α sinα = √1 − cos²α lub sinα = − √1 − cos²α Teraz sprawdzamy czy: x₁ = √1 − x₂²

2		√4		2
	= √1 − 59 =		=		⇒ α istnieje.
3		√9		3

Zenek: Jeżeli równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste [≤|1|],a suma ich kwadratów równa jest 1 to istnieje taki kąt α,że jedno z rozwiazań tego równania jest sinusem,a drugie kosinusem kąta α Zatem:

	[−3(2+√5)]2		4√5
cos2α + sin2α =1=		−
	81		9

Autorowi zadania pozostaje teraz tylko sprawdzić,czy rzeczywiście równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki takie,że| x₁|≤1⋀|x₂|≤1, czyli rozwiązać równanie!

aska: rozwiaż równania |x|=<8 |x|>3

Kaja: |x|≤8 x∊<−8;8> |x|>3 x∊(−∞;−3)∪(3;+∞)