Prawdopodobieństwo Godzio: Mam takie coś do sprawdzenia: Z pojemnika w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego. Tak zrobiłem:

	3
− losuje los przegrywający: P(A') =
	5

	1
− ponownie losuje los przegrywający P(B') =
	2

	3
P(A'∩B') =
	10

	7
Odp: P(A∩B) =
	10

Chodzi mi czy dobrze zrobiłem i czy zapis jest poprawny

U: Twój sposób jest dobry o ile wcześniej opisałeś co oznaczają poszczególne zdarzenia A, B... Takie zadania chyba najłatwiej rozwiązuje się drzewkiem, bo nie ma zabawy w nadmierne opisywanie zdarzeń. W tym wypadku piszemy tylko: A − losujemy co najmniej jeden los wygrywający. Rysujemy takie oto drzewko: http://i52.tinypic.com/313oo6x.png Przy gałęziach wypisujemy prawdopodobieństwo zdarzenia. Uwaga: przy drugim poziomie należy zauważyć, że liczba losów przegrywających i losów ogółem zmniejszyła się o jeden. Prawdopodobieństwo liczymy teraz w taki sposób: Poszczególne gałęzie, które spełniają nasz warunek należy przemnożyć i dodać.

	2		3		2		2		3		7
P(A) =		+		*		=		+		=		.
	5		5		4		5		10		10

Dla zainteresowanych: jest to metoda uznawana na maturze.

bart: P(AuB) jak na moje, bo mamy "otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający" a wiec P(A) LUB P(B)

Eta: Hej Godzio |Ω|= 5*4 = 20 zd. przeciwne do A A^' −− wylosowano obydwa losy puste |A^'| = 3*2= 6

	3
P(A')=
	10

	7
to: P(A)= 1−P(A')=
	10

Godzio: Dziękuje wszystkim Mam coś problem z oznaczeniami, trzeba jeszcze popracować

Eta: Hehe, dasz radę..... "trening czyni mistrza"

Godzio: Oby Jak na maturze dostane jakieś rozbudowane prawdopodobieństwo to kaplica

Eta: No to na rozgrzewkę 10 książek, w których są książki A i B wkładamy do dwu pudełek po 5 książek. Jakie jest prawdopodobieństwo,że książki A i B znajdą się w jednym pudełku?

Godzio: Już się biorę

Godzio: Nie jestem pewien no, ale najwyżej się skompromituje

	10 5		2 1		10!
|Ω| =		*		=		* 2 = 504 −− losuje 5 książek z 10 i wrzucam do
					5! * 5!

jednego z pudełek Wkładam do pudelka książki A,B (mogę przemieniać je na 2! sposobów) i resztę książek mogę umieścić do dwóch pudełek

	8 3
|A| =		* 2! * 2 = 224

	4
P(A) =
	9

Eta: zad2/ Godzio ma w szufladzie 5 par skarpet. Losowo wybrał 4 skarpety. Jakie jest prawdopodobieństwo,że wśród nich jest przynajmniej jedna para skarpet?

Bogdan: Wtrącę się do zadania Godzia. Podobnie jak Gustlik nie jestem zwolennikiem drzewek. LOSY WYGRYW. LOSY PUSTE | RAZEM 2 3 | 5 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−|−−−−−−−−−−−−− A: 1 1 | lub 2 0 | 2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−|−−−−−−−−−−−−−

	2 1   3 1   2 2   3 0   * + *		2*3 + 1*1		7
P(A) =		=		=
	5 2		10		10

Eta: Zad1/ .......... ok

Bogdan: Pytanie do U. Czy jest jakaś metoda, która nie jest uznawana na maturze?

Eta: Wtrącę się i ja W zad. tego typu , ja jestem zwolennikiem wprowadzania zdarzenia przeciwnego . Pozdrawiam Bogdanie

Godzio: Jest 20 skarpet

	20 4
|Ω| =		= 4845

	4 2
|A| =		= 6

	2
P(A) =
	1615

Nie mam pomysłu innego, a to za pewne jest źle

Eta: Hehe, para to 2 skarpety ....... 5 par, to ile skarpet?

Godzio: no 10

10 4
	= 210

6		1
	=
210		35

Eta: |Ω| ... ok

	13
P(A) .... źle ........... =
	21

Eta: podpowiedź: podziel skarpety na prawe i na lewe

Godzio: Chyba nie wymyśle narazie jestem na poziomie mega podstawowym, jeszcze z 2 lekcje kombinatoryki zostały i wtedy będę miał prawdopodobieństwo więc jeszcze wszystkiego nie łapie , mam nadzieję że mi wybaczysz

Eta: Tobie zawsze i wszystko wybaczam

Godzio: W takim razie mogłabyś mi napisać to |A| bo jestem ciekaw ?

Eta: Wprowadź zdarzenie przeciwne 5 −−"lewe" , 5−− "prawe" A^' −−− wśród wybaranych skarpet nie ma żadnej pary

	5 0		5 4		5 1		4 3
|A'| =		*		+		*		+ ......... dalej pomyśl, to już proste

Godzio:

	5 2		3		5 3		2 1		5 4		1 0
... +		*		+		*		+		*
			2

Godzio: więc |A'| = 80

	80
P(A') =
	210

	8		13
P(A) = 1 −		=
	21		21

muszę to przeanalizować

Eta: No i ok Pora do spania, dobranoc

Godzio: dobranoc

U: Bogdan: Chodziło mi o to, że na maturze otrzymuje się punkty za opisywanie omegi, zdarzeń, itp, a przy rozwiązywaniu drzewkiem nie trzeba tego opisywać aby dostać max punktów.

Eta: Hej Godzio zad. Na ile sposobów można rozmieścić 10 osób a) w pięciu pokojach dwuosobowych b) w sześciu pokojach dwuosobowych, zostawiając jeden pokój pusty c)w trzech pokojach trzyosobowych i jednym jednoosobowym

Godzio: Może chodź raz będę miał dobrze

	10 2		8 2		6 2		4 2		2 2
a)		*		*		*		*

Godzio: Te Twoje zadania są chyba trochę dla mnie za trudne

Godzio: Hmmm a może jednak tak ?

	10 2		8 2		6 2		4 2		2 2
a)		* 5 +		* 4 +		* 3 +		* 2 +		* 1

Eta: Echhhh ........ jakie trudne? a co Ty na to? : permutacje z powtórzeniami

	10!
a)		=......
	2!*2!*2!*2!*2!

dawaj teraz pozostałe rozwiązania

Godzio: Ale w sumie moje też jest dobrze bo:

10 2

8 2

6 2

4 2

2 2

10!

a)

*

*

*

*

=

2! * 2! * 2! * 2! * 2!

Eta: No i git

Godzio:

	10!
c)
	3! * 3!

Nad b) muszę pomyśleć

Godzio:

	10!
c)
	3! * 3! * 3!

Eta: To teraz takie ( baaardzo łatwe) Z pieciu odcinków o długosciach: 1,2,3,4,5 wybieramy trzy bez zwracania Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A −−− " z tych odcinków można zbudować trójkąt" B −− " z tych odcinków można zbudować trójkąt rozwartokątny" C −−− " " " " " " prostokątny

Eta: c) ok

Godzio: a przypadkiem w a) i b) nie będzie takiego samego wyniku ?

Godzio: |Ω| = 5 * 4 * 3 = 60 |A| ∊ {(2,3,4), (3,4,5), (2,4,5) − po 6 sposobów każdy} = 18

	3
P(A) =
	10

|B| ∊ { (2,3,4) (2,4,5) − każdy po 6 sposobów } = 12 sposobów

	1
P(B) =
	5

C ∊ { (3,4,5} − 6 sposobów }

	1
P(C) =
	10

Eta: zad3/ Pewna pani ma pięcioro dzieci ( nie ma wśród nich bliźniaków) Oblicz prawdopodobieństwo,że A −−− dokładnie jedno dziecko to chłopiec B −−− dokładnie troje dzieci to chłopcy

Eta: zad2/ ok zad1/ b) najpierw musisz wybrać 1 pokój pusty z .........

Godzio:

	6 1		10!
czyli		*		?
			2! * 2! * 2! * 2! * 2!

Eta: I o to biegało

Godzio: to 3 to chyba jakieś podchwytliwe

Godzio: Stawiam tak:

	4
1.
	5

	2
2.
	5

Eta: Ω= { (dz, ch, dz, dz, ch,) ( ch, ch, ch, dz, ch) ,( dz, dz, dz, ch, dz), ....................... } myśl teraz dalej >>>>>>

Godzio: Wiedziałem że coś nie tak, ale to przez treść bo nie jest dokładnie podana, że można te dzieci przestawiać czy coś Ale to znów nie jestem pewien |Ω| = 2⁵ |A| = 5

	5
P(A) =
	32

Znasz może jakiś zbiór z zadaniami tylko z prawdopodobieństwa ? Przydałby się.

Eta: Teraz jest ok 1/ Rachunek prawdopodobieństwa nie tylko dla orłów −− Przemysław Butrym 2/ Może znajdziesz w bibliotece szkolnej ( super zbiór, polecam) Zbiór zadań z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa dla szkół średnich autor Jerzy Ligman ( 1976 r. ) lub Rachunek prawdopodobieństwa dla kl. IV szkoły średniej −− autor Wiesław Szlenk ( 1980 r.)

Godzio: Postaram się wynaleźć

Eta: http://www.podreczniki-gandalf.pl/b/zdasz-mature-z-matematyki-kombinatoryka/ Polecam : książka wydana przez moją koleżankę ze studiów

grey: Godzio, a skąd wiedziałeś, że z tym trójkątem każdy może być po 6 razy? A nawiasem w której klasie LO jesteś..?^^

Godzio: bo można na 3! sposbów ułożyć te liczby 3 LO

Kasia: Kupuje tą książkę

Jack: w tym zadaniu z trójkatami używałbym od początku kombinacji − w końcu kolejność nie powinna mieć znaczenia.

Eta: hej Godzio, widzę,że się nudzisz 1/ Ile jest możliwości otrzymania przez brydżystę trzynastu kart w tym samym kolorze?

Godzio: hmm 13! ? Czy najpierw musi je wylosować z talii ?

Eta: ......... 4 , ( piki lub karo lub kiery lub trefle)

Godzio: że niby 4 to odpowiedź ?

Eta: oczywista−oczywistość

Eta:

4 1		13 13
	*		= .......

Eta: Witam Wraz ze świątecznymi życzeniami dla Godzia zad/ W urnie znajduje się 5 kul białych oznaczonych numerami : 1,2,3,4,5 i 6 kul czarnych oznaczonych numerami : 1,2,3,4,5,6 Losujemy jednoczesnie 3 kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania: a) dwóch kul białych b) kul obydwu kolorów c) co najmniej jednej kuli czarnej d) co najmniej jednej kuli z numerem 5 e) kul oznaczonych liczbami, których iloczyn jest parzysty f) kul o różnych numerach Powodzenia

Godzio: Wieczorkiem się za to zabiorę,

	5		4		2
a) Wydaje się proste więc: P(A) =		*		=
	11		10		11

Eta: zad2/ ze zbioru liczb {0,1,2,3,4} losujemy dwa razy po jednej liczbie 1) bez zwracania 2) ze zwracaniem wylosowane liczby układamy w uporządkowane pary (x,y) Oblicz prawdopodobieństwo,że tak wylosowane punkty (x,y) a) należą do wnętrza koła x² + y² ≤ 9 b) spełniają nierówność |x| + |y| ≤2

Godzio: Zad. 2 Bardziej przyjazne 1) Bez zwracania |Ω| = 5 * 4 = 20 a) x² + y² ≤ 9 A = { (0,1) (0,2) (0,3) (1,0) (1,2) (2,0) (2,1) (3,0) } = 8

	8		2
P(A) =		=
	20		5

b) A = { (0,1) (0,2) (1,0) (2,0) } = 4

	4		1
P(A) =		=
	20		5

2) Ze zwracaniem |Ω| = 5 * 5 = 25 a) A = { (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (1,0) (1,1) (1,2) (2,0) (2,1) (2,2) (3,0) } = 11

	11
P(A) =
	25

b) A = { (0,0) (0,1) (0,2) (1,1) (1,0) (2,0) } = 6

	6
P(A) =
	25

Godzio: Zad. 1 Czekam na potwierdzenie czy koncepcja jest dobra

	11 3
|Ω| =		= 165

	5 2   6 1   *
a) P(A) =
	165

	5 2   6 1   6 2   5 1   * + *
b) P(A) =
	165

	5 2   6 1   5 1   6 2   6 3   * + * +
c) P(A) =
	165

	11 2   2 1   11 1   2 2   * + *
d) P(A) =
	165

Eta: a), b) , c) ok d) "literówka"

	9 2   2 1   9 1   2 2   * + *
		=
	165

Eta: zad4/ Przy okrągłym stole zasiada losowo 10 osób, w tym : dziadek, babcia i dwoje wnucząt. Jakie jest prawdopodobieństwo,ze wnuki będą siedzieć bezpośrednio między dziadkami?

Godzio: Zad. 1 kul o różnych numerach e) nie wiem jak to zgrabnie zapisać

	6 * 5 * 4		8
f)		=		− tego nie jestem pewien
	165		11

Zad. 4 |Ω| = 10! |A| = 10 * 2! * 2!

	4		1
P(A) =		=
	9!		90720

Eta: zad4/ |A|= 2!*2!*6!*10 ( bo pozostałe 6 osób dowolnie na 6! sposobów) zad1/ f) ok e) E −−− iloczyn liczb jest parzysty tzn. co najmniej jedna z liczb jest parzysta E^" −−− wszystkie trzy liczby są nieparzyste |E^'|= .......... P(E)=..........

Godzio: no tak, wiedziałem że o czymś zapomniałem e) 1,2,3,4,5 i 6 kul czarnych oznaczonych numerami : 1,2,3,4,5,6 A' = {(1,1,3)(1,1,5) (3,3,1) (3,3,5) (5,5,1) (5,5,3) (1,5,3) } = 7 * 3! = 42

	42
P(A') =
	165

	123		41
P(A) =		=
	165		55

chyba niczego nie pominąłem

Eta:

	6 3
|A'| =		=.......

	29
P(A)=
	33

Godzio: A dlaczego tak ?

Eta: bo jest sześć kul z numerami nieparzystymi w tym zbiorze

Godzio: Ano chyba że tak Ja narazie lecę będę później jak byś wrzuciła jeszcze jakieś zadanka

Eta: Następne zadanie dla Godzia zad5/ 10 rękawiczek,wśród których jest tylko jedna para wkładamy do 9 ponumerowanych szuflad. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia,że żadna szuflada nie jest pusta oraz rękawiczki będące parą znajdą się w różnych szufladach. powodzenia

Godzio: To na jutro odkładam bo już widzę że harcor

Eta:

Godzio: |Ω| = 9¹⁰ Żadna nie jest pusta: 9 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 9 * 9!

	10 2
Raczej nie wpadnę na to jak te rękawiczki rozdzielić, pewnie najpierw trzeba		a później

nie wiem

Eta: Zostawiam "myślenie" do rana (masz zatem sporo czasu

Godzio: A możesz potwierdzić czy pierwszą część poprawnie zapisałem ?

Eta: tylko |Ω| jest ok

Godzio: ok

Eta: Podpowiem : zauważ,że rękawiczek jest o 1 wiecej niż szuflad Wniosek: ................

Godzio: Można wsadzić 2 do jednej

Eta: ciepło Kombinuj dalej .......

Trivial: A ja też podpowiem: Najpierw rozważ sytuację, gdzie masz wszystkie rękawiczki inne (9), a potem dodaj tą ostatnią.

Godzio: Ale wrócę do tego że Żadna nie jest pusta skoro jest 10 rękawiczek i 9 szuflad to 1 rękawiczkę można na 9 sposobów drugą również na 9 trzecią już na 8 bo wykorzystałem już jedną szufladę itd. dlaczego to jest źle ?

Eta: Pozwólmy się wykazać Godziowi

Trivial: OK.

Eta: A skąd wiesz gdzie trafi para ?

Godzio: A to nie będzie tak że najpierw liczy się prawdopodobieństwo tego że żadna nie jest pusta a później że para nie trafi do jednej i się to mnoży ?

Trivial: Jeśli prawdopodobieństwo tego, że nie trafią do jednej szuflady to 8/9 to tak.

Eta: zdarzenie A −−− " żadna szuflada nie jest pusta oraz rekawiczki będące parą znajdą się w różnych szufladach"

Godzio: Jednak poczekamy do rana

Trivial: Spróbuj moim sposobem, powinno łatwo wyjść.

Eta: ok

Eta: Trivial ........ co przyrzekłeś?

Trivial: nic więcej nie powiedziałem.

Godzio: To tak jak ja myślę to:

9 * 9!		8		8 * 8!
	*		=
910		9		99

Ale jeszcze pomyśle

Trivial: Magia godziny 2:00, mianownik automagicznie zmalał 9 razy.

Kasia: Ale wam zazdroszczę mózgi ja niestety jestem tylko człowiekiem i muszę iść już spać dobranoc

Trivial: Godzio, ty jesteś w liceum tak?

Trivial: Dobranoc Kasiu. Pamiętaj, żeby ci delta nie wyszła ujemna.

Eta: Dobrej nocy Wszystkim

Godzio: Trivial tak Dobranoc

Eta: Hej Godzio Jak tam zadanie z rękawiczkami?

Godzio: Wciąż myślę zaraz przysiądę do tego

Eta:

Godzio: Może to tak będzie : |Ω| = 9¹⁰

	10 2		9 2
|A| =		*		* 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 ?

Eta: w jednej mają być dwie rękawiczki : 2 nie tworzące pary lub 1 z pary a druga nie z pary 1/ wybierasz te 2 z 8 i wrzucasz do jednej z 9 szuflad, pozostałe już dowolnie na 8! sposobów

	8 2
|A1|=		*9*8!

2/ pomyśl sam, to już proste .......

Godzio: Jak na moje oko to będzie:

	9 2
|A2| =		* 9 * 8!

Eta:

	2 1		8 1
|A2|=		*		*9*8! =..........

Godzio: Oj ciężka praca mnie czeka z tym prawdopodobieństwem

Eta: Dasz radę, wierzę w Ciebie Pamietaj hasło: "trening........ "

Godzio: Pamiętam pamiętam Już sobie postanowiłem na nowy rok przysiąść porządnie do nauki

Eta: To co?...... wymyślać jeszcze jakieś zadania, czy narazie odpuszczasz?

Godzio: Chwilkę mnie nie było póki co odpuszczę kupie sobie te zbiory porobię zadania i wtedy będziesz jakieś trudne na sprawdzenie moich umiejętności

Trivial: Godzio, może po prostu poczekaj, aż będziecie to mieli. Wtedy zrozumiesz (z wcześniejszych postów wnioskuję, że jeszcze tego nie robiliście).

Godzio: Zgadza się powoli kończymy kombinatorykę

Trivial: Aha.

Eta: ok