rozwiąż równanie
Mocher: 1+5x+9x2+13x3+...+(4n−3)xn−1+...=27, gdzie x∊(−1;1)
19 gru 19:31
Amaz:
A znasz wynik? Bo mi wychodzi 54 a to niemożliwe.
19 gru 20:15
Amaz:
Teraz mi wychodzi 43, ale to nadal źle...
19 gru 20:20
Mocher: 2/3
19 gru 20:21
Amaz:
OK, poszukam błędu.
19 gru 20:21
Amaz:
Dobra nie wiem, napisze co mam, może ktoś mnie poprawi.
19 gru 20:31
Amaz:
1+5x+9x
2+... = ∑
n=1(4n−3)x
n−1 = ∑
n=0(4n+1)x
n =
= ∑
n=04nx
n + ∑
n=0x
n = 27, teraz zauważamy, że: ∑
n=0x
n =
11−x
∑
n=04nx
n = 27 −
11−x, jeśli obie funkcje są równe, to możemy je stronami
zróżniczkować
Otrzymujemy:
| | −1 | | 1 | |
4∑n=0xn−1 = |
| , zauważamy, że: ∑n=0xn−1 = |
|
|
| | (1−x)2 | | x(1−x) | |
| 4 | | −1 | |
| = |
| , no z tego wychodzi mi, że x=43, nie wiem gdzie jest błąd. |
| x(1−x) | | (1−x)2 | |
19 gru 20:38
bart: ja tu licealista myślę jak to zrobić, a Ty mi wyjeżdżasz z różniczkami
19 gru 20:46
Godzio:
Amaz a wiedziałbyś jak zapisać taką sumę ?
1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ... + nxn−1 + ...
19 gru 20:48
Amaz:
∑n=1nxn−1, chyba tak, myślę, że to jest OK
19 gru 20:51
Godzio:
Ale to żeby już była takiej postaci np. jak ty wyżej zapisałeś
19 gru 20:52
Amaz:
Aha, nie wiem, pomyśle
19 gru 20:53
19 gru 20:56
Godzio:
No tak, taką rzecz to można do wolframalpha wrzucić i pokaże tą sumę ale jak na nią wpaść, tam
akurat tego wytłumaczonego nie ma
19 gru 20:57
Amaz:
Chyba wiem.
19 gru 20:57
Amaz:
1+2x+3x2+4x3+... = (0+x+2x2+3x3+4x4+...)+(1+x+x2+x3+...) =
= ∑n=0nxn + ∑n=0xn = f(x)
19 gru 21:00
bart: zadania tego typu to jaki dzial ?
19 gru 21:00
Amaz:
(∑n=0nxn)' = ∑n=0xn−1, a to jest szereg geometryczny
19 gru 21:01
Amaz:
Analiza.
19 gru 21:01
Godzio: Udało mi się, na sposoby licealne
(4n − 3)x
n − 1 = 4nx
n − 1 − 3x
n − 1
4 − 3 + 8x − 3x + ... + 4nx
n − 1 − 3x
n − 1 + ... =
4(1 + 2x + 3x
2 + 4x
3 + ... + nx
n−1 + ...) − 3(1 + x + x
2 + x
3 + ... + x
n − 1 + ...)
= (*)
1 + x + x
2 + x
3 + ... + x + x
2 + x
3 + ... + x
2 + x
3 + ... + x
3 + x
4 + ... =
| 1 | | x | | x2 | | 1 + x + x2 + x3 + ... | |
| + |
| + |
| + ... = |
| = |
| 1 − x | | 1 − x | | 1 − x | | 1 − x | |
| | 4 | | 3 | |
(*) = |
| − |
| = 27 /*(x − 1)2 |
| | (x − 1)2 | | 1 − x | |
4 + 3(x − 1) = 27(x
2 − 2x + 1)
4 + 3x − 3 = 27x
2 − 54x + 27
27x
2 − 57x + 26 = 0
| | 2 | | 13 | |
x = |
| lub x = |
| −−− odpada |
| | 3 | | 9 | |
19 gru 21:05
Amaz:
Dobre
19 gru 21:08
Godzio: natchnąłeś mnie zapisaniem tych 2 sum
19 gru 21:09