... Kryspek: Rozwiąż równanie sin(x+^π₆)sin(x−^π₆)=¹₂ , gdzie x∊<0,2π>

Kryspek: jeest ktoś w stanie mi w tym pomóc?miałem pomysł, że te dwa nawiasy wziąć ze wzoru skróconego mnożenia a²−b²=(a−b)(a+b),ale nic mi potem nie wyszło...pomocy

Olga: pomoooccyyyy

Kryspek: no właśnie pomocy...

JeyAr: ze wzoru skróconego mnożeniaPOMOCY

Kryspek: no nie wiem własnie,to była pierwsza myśl na jaką wpadłem,jak ten przykład zobaczyłęm,a teraz totalna pustka...

Kryspek: pomożecie miiii ?

Godzio: sądzę że zaraz pomogę

Kryspek: uff − dziękuje,z cierpliwośćią poczekam

Godzio:

	π		π		1
sin(x +		) * sin(x −		) =
	6		6		2

	π		π		π		π		1
(sinxcos		+ sin		cosx)(sinxcos		− sin		cosx) =
	6		6		6		6		2

3		1		1
	sin2x −		cos2x =		/ * 4
4		4		2

3sin²x − cos²x = 2 3sin²x − (1 − sin²x) = 2 3sin²x − 1 + sin²x = 2 4sin²x = 3 0 = 2 − 4sin²x + 1 0 = 2(1 − 2sin²x) + 1 2cos2x = −1

	1
cos2x = −
	2

	2π		2π
2x =		+ 2kπ lub 2x = −		+ 2kπ
	3		3

	π		π
x =		+ kπ lub x = −		+ kπ
	3		3

Kryspek: dziękuje w odp mam x∊{¹₃π,²₃π,⁴₃π,⁵₃π} i czy tu wynika z tego rozwiązania?

Godzio: tak, wystarczy podstawić k = 1 k = 2 i masz wszystkie odpowiedzi

Kryspek: aha,to dzięki wielkie

JeyAr:

	π		π
sin(x+		)sin(x−		)=
	6		6

	π		π		π		π
= (sinxcos		+cosxsin		)(sinxcos		−cosxsin		)=
	6		6		6		6

	√3		1		√3		1
=(		sinX+		cosX)(		sinX−		cosX)=
	2		2		2		2

	3		1		1
=		sin2X−		cos2X=
	4		4		2

JeyAr: a dalej tak: 3sin²X−cos²X=2

JeyAr: cos²X=1−sin²X, czyli 3sin²X−1+sin²X=2 4sin²X=3

	3
sin2X=		...a dalej już wiesz...
	4

Kryspek: tak dziękuje Wam

Bogdan: Jeszcze jeden sposób:

	π		π		1
sin(x +		)sin(x −		) =		/ * (−2), x ∊ <0, 2π>
	6		6		2

	π		π
−2sin(x +		)sin(x −		) = −1
	6		6

	α + β		α − β
Korzystamy ze wzoru: cosα − cosβ = −2sin		sin
	2		2

	π   2x +   3		π   2x −   3		π
−2sin		sin		= −1 ⇒ cos2x − cos		= −1
	2		2		3

	π		1		π
cos2x = cos		− 1 ⇒ cos2x = −		⇒ cos2x = −cos
	3		2		3

	2
cos2x = cos		π
	3

	2		1		2		1
2x =		π + k*2π / *		lub 2x = −		π + k*2π / *		, k∊C
	3		2		3		2

	1		1
x =		π + k*π lub x = −		π + k*π
	3		3

	1		1
dla k = 0: x =		π lub x = −		π (poza przedziałem)
	3		3

	1		2
dla k = 1: x = 1		π lub x =		π
	3		3

	1		2
dla k = 2: x = 2		π (poza przedziałem) lub x = 1		π
	3		3

	1		2		1		2
Odp.: x ∊ {		π,		π, 1		π, 1		π}
	3		3		3		3