granice niewiem: granice krotkie wyjasnienie Mam granice z wartoscia bezwzgledna i nie wiem jak zrobic takie przyklady moze mi ktos wyjasnic co robimy w takich przypadkach? ;> a)

	x2+5
lim x−>3
	/x−3/

b)

	1		1
lim x−>0− (		−		)
	x		/x/

Basia: ad.a jeżeli x→3 to niezależnie od tego czy x−3 jest ujemne czy dodatnie |x−3|>0 i |x−3|→0 ponieważ licznik → 3²+5=14 cały ułamek → 14*(+∞)=+∞ ad.b ponieważ x→0⁻ to ¹_x→ −∞ natomiast ¹_|x|→ +∞ stąd całość → −∞ − (+∞) = −∞ −∞ = −∞

niewiem: albo

	x2−16
lim x−>4
	/x−4/

jezeli komus bedzie chcialo sie mi pomoc to prosze nie piszcie samego wyniku tylko cale rozwiazanie bo wynik to ja mam na koncu zboru zadan

Basia: pokombinuj trochę x→4⁻ ⇒ x−4<0 ⇒ |x−4| = −(x−4) stąd

	x2−16
limx→4−		=
	|x−4|

	(x−4)(x+4)
limx→4−		=
	−(x−4)

	x+4		4+4
limx→4−		=		= − 8
	−1		−1

x→4⁺ ⇒ x−4>0 ⇒ |x−4| = x−4 stąd

	x2−16
limx→4+		=
	|x−4|

	(x−4)(x+4)
limx→4+		=
	x−4

	x+4		4+4
limx→4−		=		= 8
	1		1

z tego wynika, że

	x2−16
limx→4		nie istnieje
	|x−4|

niewiem: b) rozumiem skad sie wzielo ale do a mam kika pytan a wiec jak x−3 bedzie dozyc do zera? i dlaczego potem mnozysz razy plus nieskonczonosc 14?

Basia:

	1
x→3 ⇒ x−3→3−3=0 ⇒ |x−3|→|3−3|=|0|=0 i |x−3|>0 ⇒		→+∞
	|x−3|

x2+5		1
	= (x2+5)*		→ (32+5)*(+∞)=14*(+∞)=+∞
|x−3|		|x−3|

niewiem: a jezeli w ad b lim x−>0⁺ to wychodzi [∞−(+∞)] i to jest rowne 0? czy jest ono nieoznaczone?

Basia: czytaj porządnie wcale tam tak nie jest

Basia: a rozumiem, przy x→0⁺ chcesz mieć, to rzeczywiście będzie +∞−∞ i to jest wyrażenie nieoznaczone, trzeba jakoś inaczej próbować

Basia: bardzo zresztą prosto

	1		1
dla x→0*+		=
	|x|		x

	1		1
stąd całe wyrażenie =		−		= 0
	x		x

dąży więc również do 0

niewiem: mam taki przyklad :

	ln x
lim x−>5−
	x−5

Basia: jakie jest x−5 jeżeli x→5⁻ ? dodatnie czy ujemne ? i do czego to x−5 dąży ?

niewiem: mam podstawic za x−−>5⁻ wiec co mi w mianowniku zostanie 0⁺ czy 0⁻ ?

Basia: x→5⁻ (z lewej strony) jakie liczby są na osi po lewej stronie liczby 5 ? mniejsze czy większe od 5 ? i jakie w takim razie jest x−5 ? mniejsze czy większe od 0 ?

niewiem: a wiec mysle ze jezeli od 5⁻ odejme liczbe 5(czyli liczbe wieksza, (chyba to oznacza ten minusik)) to zostanie mi cos wiekszego czyli 0⁺? tak czy moj tok rozumowania jest bledny?

Basia: nie; ten minusik oznacza to, że x dąży do 5 z lewej strony powtórnie pytam jakie liczby są na osi liczbowej po lewej stronie liczby 5 ? mniejsze czy większe od 5 ?

niewiem: oczywiscie ze mniejsze

niewiem: a wiec jezeli od liczby mniejszej odejmiemy wieksza to zostanie mi cos ujemnego tak? i dlatego ma byc 0⁻?

Basia: czyli masz x→5⁻ ⇒ x→5 i x<5 ⇒ x−5→5−5=0 i x−5<0 czyli x−5→0 przez wartości ujemne czyli ułamek

1
	→ −∞
x−5

lnx → ln5 a to jest liczba dodatnia (nawet >1) stąd wynika, że cały ułamek → −∞

niewiem: a wiec:

	1
ln x *(		) z tego ln x * −∞ daje nam −∞
	0−

Dobrze?

Basia: prawie

	1
.... → 5*(		= ln5*(−∞)= − ∞
	0*−

niewiem: przyklad taki:

	x−5
lim x−>−2+
	x+2

a wiec

	−7
lim x−>−2+		a wiec
	2−2+

	1
−7*		to sie rowna −7* −∞ jest ∞? dobrze czy cos poknocilem w tym przykladzie?
	0−

Basia: poknociłeś x→−2⁺ ⇒ x→ −2 i x>−2 ⇒ x+2→ −2+2=0 i x+2[C>0]] ⇒ w mianowniku masz 0⁺

Basia: tam ma być x+2>0

niewiem:

	x+1
lim −>−1−
	/x+1/

niewiem: czyli x−>−1⁻ −>x −>−1 i x<−1 a wiec −1+1=0 czyli bedzie to 0⁻ i co dalej?

niewiem: Pewnie juz poszlasz spac dziekuje basia bardzo mi pomoglas jestes swietna

Basia: dobrze napisałeś, ale tu trzeba trochę inaczej bo i licznik, i mianownik dążą do 0 x→ −1⁻ ⇒ x+1<0 ⇒ |x+1| = −(x+1) stąd

	x+1
limx→ −1−		=
	|x+1|

	x+1
limx→ −1−		=
	−(x+1)

	1
limx→ −1−		=
	−1

lim_{x→ −1⁻} (−1) = −1

Basia: nie sypiam o tak wczesnej porze; parzę sobie następny dzbanek herbaty

niewiem: kurde trudno to rozkminic: powiedz gdzie robie blad w zalozeniach w takim przykladzie:

	1
lim x−>1−
	1−x3

a wiec

	1
x−> 1 wiec x<1 −> 1−13=0 a wiec		wiec to bedzie minus nieskonczonosc?
	0−

niewiem: haha to dobrze bo mam jeszcze pare watpilowsci do rozwiazania a ty jestes swietna

Basia: x<1 x³<1³ x³<1 /*(−1) −x³>−1 /+1 1−x³>1−1 1−x³>0

Basia: podstawowa zasada: nie spieszyć się i liczyć krok po kroku jak wyżej

niewiem: czyli rozumiem ze jak mamy pierwsiastki, lub potegi na x to trzeba to zrobic w ten sposob co wyzej. Dzieki jestes naprawde niesamowiata z matmy

Basia: zasadniczo tak ale przy parzystych potęgach trzeba uważać np. x→ −1 o badamy x²−1 x< −1 ale x²>1 i x²−1>0