PROSZE O POMOC PILNE! ZADANIE Z PARAMETREM! Justyna: Dla jakich wartości parametru m równanie 2^x−2(√2)^x=2m ma dokładnie jedno rozwiązanie. Czy może ktoś mi pomóc rozwiązać to zadanie? Myślę że można jakoś podstawić np. t pod 2^x ale nie wiem jak.... proszę o pomoc.

Godzio: √2^x = t ⇒ t² = 2 , t > 0 t² − 2t − 2m = 0 Δ = 0 t₁t₂ > 0 t₁ + t₂ > 0 rozwiąż układ i znajdź część wspólną

Godzio: w sumie może być jeszcze taki przypadek: Δ > 0 t₁t₂ < 0

Justyna: ale z skąd wiesz o tym jaki może być przypadek ja tego właśnie nigdy nie mogę ogarnąć

Godzio: t jest zawsze dodatnie, więc jak będzie ujemne to będzie sprzeczność prawda ?

Justyna: delta wychodzi √12 wiesz ja najlepiej się ucze patrząc jak kto zrobił zadanie i śledząc co po kolei ma być, tak samemu pierwszy raz zadania to nie wiem co i jak mam zrobić

Godzio: Zaraz zrobię,

Godzio: t² − 2t − 2m = 0 t > 0 1^o

⎧	Δ = 0 ⇒ 4 + 4m = 0 ⇒ m = −1
⎨	t1t2 > 0 ⇒ −2m > 0 ⇒ m < 0
⎩	t1 + t2 > 0 ⇒ 2 > 0

Odp: m = −1 2^o

⎧	Δ > 0 ⇒ 4 + 4m = 0 ⇒ m > −1
⎩	t1t2 < 0 ⇒ −2m < 0 ⇒ m > 0

Odp: m > 0 Odp: m ∊ (0,∞) ∪ {−1}

Justyna: wszystko fajnie ale nie wiem dlaczego użyłeś tych warunków a nie np jeszcze t₁+t₂<0? Ogólnie nie rozumiem dlaczego użyłeś te warunki. Czy wytłumaczył byś

Godzio: Tak jak już mówiłem żeby istniał jakikolwiek pierwiastek co najmniej jedno t musi być dodatnie, w równaniu kwadratowym możemy otrzymać 2, 1 lub 0 rozwiązań ale mogą być one dodatnie lub ujemne, jeśli w tym konkretnym równaniu gdzie t > 0 otrzymamy liczbę ujemną (rozwiązanie ujemne) to rozwiązania w x nie będzie bo √2^x ≠ − ... bo √2^x > 0 dla x ∊ R Dlatego w pierwszym warunku gdzie jest jedno rozwiązanie, musi być ono dodatnie jeśli będzie ujemne to będzie sprzeczność, warunkiem żeby było dodatnie jest właśnie t₁ + t₂ > 0 i t₁t₂ > 0, drugim przypadku mogą być 2 rozwiązania jednak jedno musi być ujemne a drugie dodatnie żeby można było jedno rozwiązanie odrzucić, i warunkiem 2 pierwiastków z różnymi znakami jest właśnie t₁t₂ < 0 bo − * + = − Mam nadzieję że już lepiej to rozumiesz

Justyna: i tutaj korzystałeś z Vietea że gdy a=1 to x₁+x₂=−b i x₁*x₂=c tak ? a jak bym miała podać więcej rozwiązań to wogule takie istnieją? czy to jedyne rozwiązanie takiego przykładu ?

Godzio: w ogóle Innych przypadków tu nie widzę

Justyna: a no ok dzięki w miarę to już jakoś staram się łapać.

Justyna: Dla jakich wartości parametru m równanie mx²−(m+2)x+2=0 ma dwa rożne rozwiązania ujemne. A w tym zadaniu czemu są warunki : Δ>0 x₁+x₂<0 ^−b_a a#0 x₁*x₂>0 ^c_a chodzi o to że jak napiszę inne to będą sprzeczne? i ich tzn tych innych warunków mam nie pisać bo to będzie błąd?

Godzio: Δ > 0 ⇒ dwa różne pierwiastki

⎧	x1 + x2 < 0
⎩	x1 * x2 > 0	⇒ ujemne

a ≠ 0 −− warunek który zapewnia że będzie to funkcja kwadratowa

Justyna: i to są wszystkie warunki ?