bezradny: a₆/a₃=7 a₂²+a₄²=40 Wykaż, że dla dowolnego a_n spełnione jest równanie S_3n=3(S_2n-S_n)

Atos: S_n=a₁ +(n-1)*r S_2n= a₁ +(2n -1)*r S_3n=a₁ +(3n-1)*r obliczmy więc a₁ i r a₆= a₁ +5r a₃= a₁ +2r a₂= a₁ +r a₄= a₁ +3r czyli a₁ +5r 1/ ------------ = 7 i 2/ ( a₁ +r)² + ( a₁ +3r)²= 40 a₁+2r należy rozwiazać ten układ równań z a₁ i r a₁ +5r= 7(a₁ +2r) to 6a₁= - 9r to a₁ = (-3/2)*r= - 1,5*r podstawiamy a₁ do drugiego równania ( -1,5 *r +r)² + ( -1,5 *r+3r)² = 40 (-0,5*r)² + (1,5*r)² = 40 0,25*r² + 2,25*r²= 40 2,5*r² = 40 /: (2,5) r² =16 to r= 4 lub r= -4 to a₁^' = -6 lub a₁^" = +6 są dwa takie ciągi I ciąg ; a₁= -6 r= 4 II ciąg; a₁= 6 r= - 4 dla I ciągu: a_n= a₁ +(n-1)*r to a_n = 4n - 10 a_2n= a₁ +(2n-1)*r to a_2n = 8n - 10 a_3n = a₁ +(3n-1)*r to a_3n= 12n - 10 L=S_3n P= 3(S_2n - S_n) po podstawieniu do wzorów na S W/w na poczatku zad. otrzymamy S_3n=6n(3n -4) S_2n= 4n*(2n-4) S_n =2n*( n - 4) P=3*4n(2n -4) - 2n*(n -4)= 3*2n( 4n - 8 - n +4)= = 3*2n( 3n - 4) = 6n( 3n -4) L= 6n(3n -4) więc L=P co b. d. o. podobnie dla II ciągu a_n= 10 -4n = -(4n-10) a_2n= 10 -8n = -(8n - 10) a_3n = 10 - 12n = -(12n - 10) S_3n = -6n(3n -4) S_2n = -4n(2n -4) S_n = - 2n(n-4) L= S_3n = - 6n( 3n -4) P= 3*[-4n*(2n -4) + 2n*( n-4)]= -6n*( 4n - 8 -n +4)= - 6n( 3n -4) L=P zachodzi Może ktoś zna prostszy sposób! Ja rozwiazałem tak!