Granica funkcji Magda: Granica fukcji proszę o pomoc a)

	√x2+1−1
lim
	√x2+25−5

x→0

	sin2(x−1)
b) lim
	x2−1

x−−>1

	1−cosx
c) lim
	x2

x−−>0 Prosze o pomoc

Grześ: a) rozszerz licznik i mianownik przez sprzężenie, czyli użyj wzoru: (a−b)(a+b)=a²−b²

Magda: a) wyszło a reszta? proszę o pomoc

Grześ: reszta, hmmm z de'Hospitala chyba, bo powstają wyrażenia nieoznaczone. Tu Ci nie pomoge, bo nie nzam rachunku pochodnych, niestety

Magda: nie miałam de"Hospitala tylko, coś takiego w jakiś przykładach, że

1
	=+ nieskończonosc
0+

	1
i że		= 0+
	+nieskończoność

tylko nie wiem czy to się przyda proszę o pomoc

Grześ: Aaaa, rozumiem, czyli zbadaj w: b) 1⁺ oraz 1⁻ c) 0⁻ 0⁺ I jak cos to zapisz tu swoje spostrzeżenia

Magda:

	1
w odpowiedziach b) 0 c)
	2

a jeszcze taki przykład nie wiem jak zrobić, znaczy nie wychodzi mi

	1+√x
d) (		)x cały ułamek do potęgi x, wynik z odpowiedzi: 0
	1+2√x

dlatego prosze kogokolwiek o pomoc, co do tego przykładu i tamtych dwóch poprzednich

aga116:

	1+√x
oblicz sobie granice tego:		a nstepnie podnies to do potegi x
	1+2√x

zakladam ze x→∞ bo tu tego nie napisalas...

aga116: w przykladzie b)

	sinx
skorzystaj z czegos takiego: limx→0		=1
	x

Magda: tak, w przykładzie d) pominęłam że x−−> + nieskończoności, w tym przykładzie skorzystać z liczby e? nie wychodzi mi ani b) ani d) mogłabym prosić o rozwiązania

aga116: nie mozesz absolutnie tu skorzystac z liczby e! zrob tak jak napisalam wyzej

aga116: a potrafisz zrobic c?

Magda: czyli w tym przykładzie d) mam pomnożyć przez sprzężenie zarówno licznik jak i mianownik? znaczy przyjmując za x−−> + nieskończonosc, to jest U({∞}{∞})^∞ wszystko mi się już pomieszało

	1
w tym przykładzie wychodzi U{1 +		}x czy źle, bo już mi się kompletnie wszystko
	√x

pomieszało i co dalej? a w tym b) w mianowniku wzór skróconego mnożenia, czy nie, bo zostanie wstedy ^sin2_x+1 c nie umiem zrobić

aga116: w b nie masz nic mnozyc po prostu wylacz z licznika i zmianownika √x przed nawias i skroc ze soba, napisz mio co Ci wyszlo

aga116: tzn mialo byc d nie b

aga116:

	sinx
natomiast w b wykorzystaj informacje ze limx→0		=1 wiesz jak to wykorzystac?
	x

najpierw zrob b potem powiem Ci co z c

Magda: więc w przykładzie d) po skóceniu √x wychodzi

	1√x+1
(		)x
	1√x+2

aga116:

	1
nom i teraz masz		a to z kolei dazy do...?
	2x

Magda: i co dalej z tym d)?

Magda: a skąd wiem że ¹₂ ^x? przecież nie zostało skrócone te ¹_√x

aga116: bo ¹_√x dazy do 0 bo jest lim_x→∞ wiesz juz czemu?

Magda: ahaa już rozumiem taki pierdół zapomniałam czyli ¹₂^x dąży do 0 to teraz co z tym b i c

Magda: jak to przekształcić z tym ^sinx_x=1

aga116: mowilam Ci zebys wykorzystala ta informacje co Ci podalam wyzej wiesz jak to zrobic?

aga116:

	sin(x−1)*sin(x−1)
na poczatku rozpisz sobie tak:
	(x−1)(x+1)

tutaj naszym "x→0" jest (x−1) no i teraz sprobuj

Magda: właśnie nie miałam podobnego przykładu i nie wiem za bardzo

Magda: znaczy miałam to wcześniej anpisać, przed twoim ,postem już próbuję

Magda: czyli co ^{sin−1*sin−1}₋₁? tak i co dalej? pewnie źle

Magda: pomyłka, tutaj x−−> 1 a nie do 0 czyli wychodzi ^sin0*sin0₀ to już nie wiem o co chodzi

aga116:

	sin(x−1)
patrz: w tym przypadku		dazy do 1... czemu? poniewaz x−1=1−1=0 czyli nasz (x−1)
	x−1

	sinx
dazy do zera wiec mozemy tutaj wykorzystac limx→0		=1 wiec otrzymujesz cos takiego
	x

	sin(x−1)
1*		a to...?
	x+1

inx: spojrzycie na moje zadanie?

Magda: a dlaczego tak? te ^sin(x−1)_x−1 w mianowniku powinno byc chyba jeszcze te (x+1), dlaczego tego nie ma?

Magda: czeu to jest rozbite na 2 części ^sin(x−1)_x−1 i ^sin(x−1)_x+1

aga116: nie ma byc rozbite na dwie czesci tam pomiedzy nimi ma byc razy, chcialam CI pokazac dlaczego tak jest dlatego to rozbilam

aga116:

	sin(x−1)
i w zwiazku z tym skoro nasz		dazy do 1(wytlumaczenie wyzej) otrzymujemy takie
	x−1

	sin(x−1)
cos: 1*		a to z kolei.....?
	x+1

Magda: tak, wiem − ułom ze mnie a wychodzi 1* ^sin0₂ i wychodzi 1*0 czyli 0 bo sin0=0?

aga116: oczywiscie

aga116:

	1+cosx
natomiast w c) pomnoz sobie to razy
	1+cosx

Magda:

1−cosx		1+cosx		12−cosx2
	*		=		pewnie źle ?
x2		1+cosx		x2+cosx2

i dlaczego można wogóle to pomozyć przez ^1+cosx_1+cosx skąd to wzięłaś

aga116: licznik tak ma byc w mianowniku nic nie wymnazaj aha i ma byc x²cosx a nie cosx²

aga116: do mianownika tak a w liczniku mam nadzieje ze caly cos jest podniesiony do kwadratu a nie x

aga116: i teraz co w liczniku nam wyjdzie? wtedy sie skapmniesz skad takie cos mi do glowy przyszlo

Magda:

	12−cos2x2
czyli po wymożeniu będzie tak		i co z tym zrobić
	x2+x2cosx

Magda: no i w liczniku wyjdzie 1−0 czyli 0

aga116: nie tak

aga116: mianownik ok a w liczniku powinnas miec 1−cos²x i teraz co z tym zrobisz?

Magda: no to jednak jestem ułom no i dalej w liczniku wychodzi 0 czy nie bo nie wiem co z tym zrobić

aga116: popatrz 1=sin²x+cos²x wiec.....

Magda: czyli w liczniku będzie sin²x? i co dalej wtedy

aga116:

	sin2x		sinx*sinx
no i wtedy masz		=		, powinnas juz teraz sama
	x2(1+cosx)		x*x(1+cosx)

zrobic

Magda: czyli będzie 1*1*¹_1+cosx i co dalej?

Magda:

	1
czyli 1*1*		= 12 bo cos0=1 tylko skąd ty wzięłaś te wszystkie pomysły jak to
	1+1

zrobić prosze powiedz mi

Magda: znaczy głównie z tym przemnożeniem przez ^1+cosx_1+cosx można tak wogóle, skąd znasz ten sposób?

aga116: tak juz jest po prostu przeksztalcasz tak zeby ci wyszlo a tak poza tym, jezeli nie mozesz korzystac z d'hospitala to warto zapamietac:

	sinx
limx→0		=1
	x

	1−cosx
limx→0		=0
	x

	ex−1
limx→0		=1
	x

	ln(1+x)
limx→0		=1
	x

	arcsinx
limx→0		=1
	x

Magda: nie miałam d'Hospitala w książce nie było wogole przykladow jak to rozw tylko że przy innych przykładach z lekcji że ¹_0⁺= +nieskończoność i że ¹_{+nieskoończoność}=0⁺ ale nie wiem czy to przydatne tam dalej to rozumiem, że z jedynki trygonometrycznej i z tych twierdzeń, a żeby wpasć pomnożyć przez te ^1+cosx_1+cos to nie chciałam to zamieniać ten cosx na ^1x_sinx ale nic mi nie wychodziło z tym zamianą cosx na ^1x_sinx myślisz że by wyszło?

aga116: jeszcze raz na co chcialas zamienic? ulamki sa zbyt male i sie zlewaja napisz zamiast "u" takie "U"

Magda:

	1x
chciałam zamienić w liczniku cosx na		tylko mi coś nie wychodziło, ciężko mi
	sinx

	1+cosx
byłoby wpasć na te pomnożyć przez
	1+cosx

aga116: ale nie mozesz tak zamienic cosx ewentulanie cosx=√1−sin²x co moim zdaniem jest bez sensu

	a+b
ogolnie jak masz gdzies (a−b) to staraj sie to przemnozyc przez
	a+b

Magda: ok, postaram się zapamietać, bo te przykłady co robimy na lekcji to są duzo łatwiejsze od tych do domu i został mi taki jeden przykład

	cosx−cos3x
lim
	x2

x−−>0 w odpowiedziach:4

aga116:

	cosx+cos3x
w tym przykladzie zrob jak w porzednim pomnoz sobie przez
	cosx+cos3x

Magda: no to mnożę

	cosx−cos3x		cosx+cos3x		cos2x−cos9x
lim		*		=lim
	x2		cosx+cos3x		x2cosx+x2cos3x

i co dalej?

aga116: zle licznik pomysl czemu

Magda: nie wiem co źle pewnie to drugie : D

aga116: oczywiscie to jak ma byc?

Magda: cos²9x?

aga116: zle! nie podnosisz tej trojki do kwadratu ma byc cos²3x ok i teraz co robisz?

Magda: no mówie że ułom jestem i nie wiem co teraz z tym zrobić wyłączyć w mianowniku te x²?

aga116: teraz to wykorzystaj to: sin²x+cos²x=1

Magda: tez tak myślałam, czyli:

	cos2x−cos23x		1−sin2x−cos23x
lim		= lim
	x2cosx+x2cos3x		x2cosx+x2cos3x

i co dalej?

aga116: a drugi cosinus czemu nie zamieniony?

Magda: czyli będzie :

	1−sin2x−(1−sin23x)
lim		i dalej co?
	x2cosx+x2cos3x

aga116: jedynki sie skroca i podziel sobie ten ulamek na dwa ulamki, zeby w kazdym byl po jeden sinus w liczniku

Magda: czyli będzie:

	−sin2x		sin23x
lim		*
	x2cosx		x2cos3x

i co dalej?

aga116: wlasnie tak i teraz cos wykorzystujesz mam nadzieje ze wiesz co

Magda: a i jeszcze jedno − jak robie to mnożenie, to mam przed tym drugim ułamkiem też robić lim czyli jako iloczyn granic czy nie moge tego lim?

Magda:

	sinx
teraz korzystam ztego		=1?
	x

aga116: nie dajesz juz tego lim jedno wystarczy

aga116: tak

Magda: czyli będzie:

	−sinx*sinx		sin3x*sin3x
lim		*
	x*x*cosx		x*x*cos3x

nie wiem co z tym minusem przy tym pierwszym sinusie w liczniku?:( dobrze to jest zrobione?

aga116: tak

aga116: acha jeszcze jedno bo nie zauwazylam wczesniej tam nie ma byc * tylko + pomiedzy ulamkami

Magda:

−sinx

sinx

1

sin3x

sin3x

1

czyli lim

*

*

+

*

*

x

x

cosx

x

x

cos3x

dobrze? dlaczego + między ułamkami jak zrobie +to musze doprowadzac do wspólnego mainownika?

aga116: moment w mainowniku cos ci ucielo w kazdym mianowniku ma byc x*x(cosx+cos3x)

Magda: dlaczego, bo jesli chce rozbić na sumę, to wtedy doprowadzam do wspólnego mianownika?

aga116: powinno byc tak:

	−sinx*sinx		sin3x*sin3x
lim		+
	x*x(cosx+cos3x)		x*x(cosx+cos3x)

Magda: czyli tam wcześniej powinien być + jeśli chce to przedstawić jako sumę ułamków:

−sinx*sinx		sin3x*sin3x
	+
x*x*(cosx+cos3x)		x*x*(cosx+cos3x)

teraz dobrze?

Magda: a czyli doibrze zrobiłam bo nie widzaiałm twojego postu czyli innymi słowy jesli chcemy to przedstawić za pomocą sumy ułamków, to wtedy do wspólnego mianownika tak?

aga116: no tak

Magda: w odpowiedziach wyszło że 4, kiedy: lim x−−>0

aga116: i tak wyjdzie mala podpowiedz zrob cos z drugim ulamkiem

Magda: i dalej to już:

−sinx		sinx		1		sin3x		sin3x		1
	*		*		+		*		*
x		x		cosx+cos3x		x		x		cosx+cos3x

aga116:

	sin3x
tak ale jeszcze musisz cos zrobic zeby w tym drugim ulamku bylo		zebys mogal
	3x

zastposowac twioerdzenie

Magda: czyli z tego pierwszego ułamka wyjdzie −1*1*¹₄ a z drugim co− wylaczyć 3 przed nawias?

aga116: nie −¹₄ tylko −¹₂

aga116:

	9
w drugim pomnoz ten ulamek razy
	3*3

Magda:

	1		9
a dlaczego		co źle przemnożyłam? i ten drugi czemu razy		?
	2		3*3

aga116: bo cos0=1 i cos3*0=cos0=1 i masz w mianowniku 1+1=2

aga116: a tu dlatego ze:

sin3x		sin3x		1
	*		*
x		x		cosx+cos3x

zeby otrzymac w mianowniku 3*x musimy skads to wziac i dlatego mnozymy caly ulamek

	9
razy
	9

Magda: czyli będzie

	sin3x		9		sin3x		1		9
lim ..... +		*		*		*		*
	x		9		9		cosx+cos3x		9

aga116:

	9
ale niepotzrebnie dwa razy mnozysz przez		raz w zupelnosci wystarczy
	9

Magda:

	9
czyli wystarczy te		i wtedy cały ułamek w nawias ?
	9

aga116:

	sin3x		sin3x		9
a po co w nawiasotrzymasz cos takiego:		*		*
	3x		3x		cosx+cos3x

wiesz czemu tak?

Magda: czyli jak była ten ułamek:

	sin3x		sin3x		1
lim ....+		*		*		to potem po równa się piszę
	x		x		cosx+cos3x

lim ...+ to co wyżej napisałaś

	9
tylko nie wiem za bardzo jak to się poupraszczało z tym
	9

	−1		9
ale ostatecznie wyjdzie		+ 1*1*
	2		2

aga116:

	9
tak bo wiesz ze		=1? o to ci chodzilo?
	9

	sin3x
czy moze o to ze		? bo tutaj naszym "x" jest 3x wiec w mainowniku tez musi byc 3x
	3x

rozumiesz?

Magda:

	9
a wiem już jak z tym		bo w mianowniku to sobie rozbiłaś na dwie 3 czyli jak by było w
	9

	9
liczniku 1*1*9 a wmianowniku 3*3*1 żeby ogólnie wyszło te
	9

aga116: nom

Magda: ok czyliprzykład skończony, niezła masakra ale z tym ułamkiem jak rozbije na dwie sumy to wtedy przed tym drugim też trzeba lim czy nie?

aga116: mozna bo jest takie twierdzenie ale jak dasz calosc w nawias to nie musisz

Magda: czyli wystraczy że dam to w nawias całość ? czyli koniec dziekuję ci bardzo niezły ze mnie ułom, co nie ? a nie było na to krótszego sposobu?

aga116: jasne ze byl mozna z d'hospitala ale ty go nie mialas chociaz ten w cale dlugi nie jest

aga116: dobra ja ide spac cya

kwak: O choroba ile wypowiedzi

Magda: czyli z tym d"Hospitalem to zamienia sie potem na pochodne? nie mialam na pewno tego czyli ten sposob tylko zostaje

kwak: liczbysz pochodne w liczniku i mianowniku i wtedy podstawiasz. Dosc ogolny opis.

Magda: nie to na pewno tego nie miałam czyli zostaje ta wersja...

kwak: Ano chyba zostaje. btw Granice to zlo

aga116: d'hospitala na pewno poznasz takze nic sie nie martw