zad pinokio: oblic z iloczyn w₁=[3,−4,2] w₂=[−8,0,4]

pinokio: kat nierozwarty miedzy przekatnymi rownolegloboku rozpietego na wektorach w₁=[5,−4,−2] w₂=[1,−2,2]

pinokio: oblicz pole powierzchni calkowitej rownolegloboku rozpietego na wektorach w₁=[0,−4,−2] w₂=[6,8,−2] w₃=[3,4,−9]

pinokio: oblicz wysokosc trojkata abc z wierzcholka A A(2,−4,−6) B(−7,−14,4) C=(9,−6,−12)

pinokio:

AS: W przykładzie 3 równoległoboku czy równoległościanu?

AS: Przykład 1 Dane są wektory v = [vx,vy,vz] i w = [wx,wy,wz] Iloczyn wylicza się z wyznacznika | i j k | v x w = | vx vy vz | | wx wy wz | lub [vy*wz − vz*wy , vz*wx − vx*wz , vx*wy − vy*wx]

pinokio: rownolegloscianu

AS: Przykład 2 v = w1 + w2 , w = w1 − w2

	|vx*wx + vy*wy + vz*wz|
cos(α) =		gdzie
	√m1*m2

m1 = √vx² + vy² + vz² , m2 = √wx² + wy² + wz²

AS: Przykład 4 1. Obliczyć pole trójkąta S 2. Obliczyć długość boku BC

	2*BC
3. Obliczyć wysokość h =
	S

pinokio: dzieki

AS: Korekta

	2*S
W przykładzie 4 oczywiście ma być h =
	AB

AS: Och ten chochlik

	2*S
h =
	BC

=:): to 2 mozna rozwiazac bo nie idzie

=:): i te zad 3

=:): jak w 4 obliczyc S?

AS: Zad.4 Dane: A(2,−4,−6) , B(−7,−14,4) , C(9,−6,−12) Równanie prostej BC p = xC − xB = 9 − (−7) = 16 q = yC − yB = −6 − (−14) = 8 r = zC − zB = −12 − 4 = −16 Równanie prostej

x − xB		y − yB		z − zB
	=		=
p		q		r

x + 7		y + 14		z − 4
	=		=		albo
16		8		−16

x + 7		y + 14		z − 4
	=		=		= t gdzie t ∊ R
2		1		−2

Równanie parametryczne x = −7 + 2*t , y = −14 + t , z = 4 − 2*t Wektor normalny w = [2,1,−2] Równanie płaszczyzny 2*x + y − 2*z + D = 0 wstawiam współrzędne punktu A by znaleźć D 2*2 + (−4) − 2*(−6) + D = 0 ⇒ D = 12 Równanie płaszczyzny: 2*x + y − 2*z + 12 = 0 Wstawiam równanie prostej do płaszczyzny by znaleźć t 2*(−7 + 2*t) + (−14 + t) − 2*(4 − 2t) + 12 = 0 ⇒ t = −8/3 Współrzędne punktu przecięcia z prostą BC xP = −7 + 2*(−8/3) = −37/3 yP = −14 − 8/3 = −50/3 zP = 4 − 2*(−8/3) = 28/3 Szukana odległość AP² = (xP − xA)² + (yP − yA)² + (zP − zA)² resztę dokończ.

AS: Sposób 2 Dane: A(2,−4,−6) , B(−7,−14,4) , C(9,−6,−12) Wektor AB^→ = [−7 − 2,−14 + 4,4 + 6] = [−9,−10,10] = [ax,ay,az] Wektor AC^→ = [9 − 2,−6 + 4,−12 + 6] = [7,−2,−6] = [bx,by,bz] w1 = ay*bz − az*by = −10*(−6) − 10*(−2) = 80 w2 = az*bx − ax*bz = 10*7 − (−9)*(−6) = 70 − 54 = 16 w3 = ax*by − ay*bx = (−9)*(−2) − (−10)*7 = 18 + 70 = 88 w = w1² + w2² + w3² = 80² + 16² + 88² = 14400

	1		1
Pole trójkąta P =		√14400 =		*120 = 60
	2		2

Długość boku BC BC² = (9 +7)² + (−6 + 14)² (−12 − 4)² = 576 BC = 24

	2*P		2*60
Szukana wysokość h =		=		= 5
	BC		24

AS: Korekta do metody 1 D = −12 , popraw w następnych wierszach t = 16/3