ciągi karola: zamiana wzoru rekurencyjnego na ogólny.. a₁=1 a₂=2. ... a_n+2=a_n+1 − a_n

karola: błagam nie mam o tym pojęcia bardzo proszę o pomoc z tym zadaniem

karola: MASZ DOŚĆ ZADAŃ Z KOMBINATORYKI Tylko u nas zadania z ciągów

Godzio: niezła reklama tylko ciąg dziadowski

karola: a pomożesz? proszę

Godzio: wciąż myślę

karola: doszłam do tego a₃,a₉,a₁₅, ..=1 a₄,a₁₀,a₁₆,...=−1 a₅,a₁₁,a₁₇,...=−2 a₆,a₁₂,a₁₈,...=−1 a₇,a₁₃,a₁₉,...=1 a₈,a₁₄,a₂₀,...=2 i nie wiem co dalej.

karola: jak się poddasz to napisz

Godzio: Póki co nie mam zamiaru teraz kombinuje z sgn i sinusem zobaczymy czy coś wyjdzie

karola: zgadzam się. przekształcenia sinusa..

Godzio: Poddaje się bo nic tu nie wymyślę

karola: dzięki za próbę pomocy. spróbuje jeszcze coś wymyślić chociaż wątpię że mi się uda

karola: rzucam ponownie rękawice. czy ktoś ma odwagę ją podnieść i podjąć wyzwanie?

karola: same tchórze

Dominik: może trochę późno, ale lepiej niż wcale a_n = 2 sin(pi/6 + 2/6 * pi * (n−1))

Mariusz: Dominik a może pokazałbyś jak do tego doszedłeś ? Wklepałeś do Wolframa ? a₁=1 a₂=2. ... a_n+2=a_n+1 − a_n Niech a₂=a₁−a₀ 2=1−a₀ a₀=−1 A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=0^∞a_n+2xⁿ⁺²=∑_n=0^∞a_n+1xⁿ⁺²−∑_n=0^∞a_nxⁿ⁺² ∑_n=0^∞a_n+2xⁿ⁺²=x(∑_n=0^∞a_n+1xⁿ⁺¹)−x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) ∑_n=0^∞a_nxⁿ−x+1=x(∑_n=0^∞a_nxⁿ+1)−x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) ∑_n=0^∞a_nxⁿ−x+1=x+x(∑_n=0^∞a_nxⁿ)−x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) (x²−x+1)(∑_n=0^∞a_nxⁿ)=2x−1

	2x−1
∑n=0∞anxn=
	x2−x+1

2x−1		A		B
	=		+
x2−x+1		1−λ1x		1−λ2x

A(1−λ₂x)+B(1−λ₁x)=2x−1 A+ B=−1 λ₂A+λ₁B=−2 λ₂A+ λ₂B=−λ₂ λ₂A+λ₁B=−2 (λ₂−λ₁)B=λ₂+2

	2−λ2
B=
	λ2−λ1

λ₁A+λ₁B=−λ₁ λ₂A+λ₁B=−2 (λ₁−λ₂)A=−λ₁+2 (λ₂−λ₁)A=λ₁−2

	λ1−2
A=
	λ2−λ1

	1		3
x2−x+1=(x2−x+		)+
	4		4

	1		3
x2−x+1=(x−		)2+
	2		4

	1−√3i		1+√3i
x2−x+1=(x−		)(x−		)
	2		2

	1−√3i
λ1=
	2

	1+√3i
λ2=
	2

	1+√3i−1+√3i
λ2−λ1=		=√3i
	2

	2−λ2
B=
	λ2−λ1

	λ1−2
A=
	λ2−λ1

	3−√3i
B=
	2√3i

	−3−√3i
A=
	2√3i

	3+3√3i
B=
	−6

	−3√3i+3
A=
	−6

	−1+√3i
A=
	2

	−1−√3i
B=
	2

	−1+√3i	1		−1−√3i	1
A(x)=			+
	2	1−√3i   1−( )x   2		2	1+√3i   1−( )x   2

	−1+√3i		1−√3i		−1−√3i		1+√3i
an=		(		)n+		(		)n
	2		2		2		2

Jeśli chcemy mieć wynik wyrażony za pomocą funkcyj trygonometrycznych to przechodzimy na postać trygonometryczną i na niej wykonujemy potęgowania i mnożenia

	2
arg(z1)=		π
	3

	1
arg(z2)=		π
	3

	2		2		1		1
(cos(		π)+isin(		π))(cos(		π)−isin(		π))n+
	3		3		3		3

	2		2		1		1
(cos(		π)−isin(		π))(cos(		π)+isin(		π))n
	3		3		3		3

	2		2		1		1
(cos(		π)+isin(		π))((cos(		nπ)−isin(		nπ))
	3		3		3		3

	2		2		1		1
+(cos(		π)−isin(		π))(cos(		nπ)+isin(		nπ))
	3		3		3		3

	1		2		1		2
cos(−		nπ+		π)+isin(−		nπ+		π)
	3		3		3		3

	1		2		1		2
+cos(		nπ−		π)+isin(		nπ−		π)
	3		3		3		3

	1		2		1		2
cos(		nπ−		π)−isin(−		nπ+		π)
	3		3		3		3

	1		2		1		2
+cos(		nπ−		π)+isin(		nπ−		π)
	3		3		3		3

	π
=2cos(		(n−2))
	3