rozwiąż równanie x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0 Madzia: rozwiąż równanie x⁴−5x³+8x²−5x+1=0

Godzio: x⁴ − x³ − 4x³ + 4x² + 4x² − 4x − x + 1 = 0 x³(x − 1) − 4x²(x − 1) + 4x(x − 1) − (x − 1) = 0 (x − 1)(x³ − 4x² + 4x − 1) = 0 (x − 1)( (x − 1)(x² + x + 1) − 4x(x − 1) ) = 0 (x − 1)²(x² + x + 1 − 4x) = 0 (x − 1)²(x² − 3x + 1) = 0

	3 + √5		3 − √5
(x − 1)2(x −		)(x +		) = 0
	2		2

	3 + √5		3 − √5
x = 1 lub x =		lub x = −
	2		2

Madzia: Dziękuje

Gustlik: Najlepiej Hornerem − o wiele mniej kombinacyjna metoda: Kandydatami są +−1: 1 −5 8 −5 1 1 1 −4 4 −1 0 ← 1 jest pierwiastkiem W wyniku dzielenia przez (x−1) otrzymujemy wielomian: (x−1)(x³−4x²+4x−1)=0 Drugi raz schemat Hornera − rozkładam wielomian (x³−4x²+4x−1): 1 −4 4 −1 1 1 −3 1 0 ← 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym (x−1)²(x²−3x+1)=0 Rozwiązuję funkcję kwadratową (x²−3x+1) Δ=(−3)²−4*1*1=9−4=5 √Δ=√5

	3−√5
x1=
	2

	3+√5
x2=
	2

	3−√5		3+√5
Odp: x=1 (2−krotny) v x=		v x=
	2		2

Godzio: Wiedziałem, po prostu byłem pewien że tu będzie komentarz Ja i tak pozostanę przy grupowaniu

Gustlik: Godzio − daję sobie rękę obciąć, że jedna osoba na milion będzie w stanie wymyślec liczby, na jakie trzeba rozbić współczynniki wielomianu, zwłaszcza stopnia wyższego niż 3. Szczerze mówiąc − nawet mi by to zajęło trochę czasu, a co dopiero uczniowi. Owszem − w zapisie nieco krócej, ale to bardzo czasochłonna metoda, dlatego podaję metodę szybszą i przede wszystkim bardziej czytelna i przejrzystą. Schemat Hornera to moja ulubiona metoda rozwiązywania wielomianów. Ulubiona bo prosta i zrozumiała dla uczniów. Pozdrawiam.

Godzio: No dobra, niech będzie, ale jak ktoś chce innym sposobem niż ja preferuje to niech napisze jak ktoś ma chęci to na pewno rozpisze z dzieleniem wielomianu, a pamiętaj też że za dużo uczniów tego schematu nie przerabia więc trochę to dla nich dziwne,

Gustlik: Właśnie dlatego ja podaję ten sposób, aby uczeń kliknął sobie w odpowiedni link, poszperał i załapał, o co chodzi, bo schemat Hornera to najprostsza metoda rozwiązywania wielomianów o "nie pasujących" współczynnikach, których nie da sie pogrupować bez kombinowania z rozbijaniem liczb. Szczerze mówiąc nawet mi by zajęło nieco czasu rozbijanie współczynników na takie, aby można było podpasować i pogrupować np. parami czy trójkami, a tym bardziej przeciętnemu uczniowi, który ma o wiele mniejszą wprawę w rozwiązywaniu zadań niż Ty czy ja. Dlatego podaje ten sposób, aby uczeń mógł się nim zainteresować i zapoznać, bo na maturze jak rozwiąże Hornerem i nie popełni błędu, to będzie miał zadanie zaliczne na maksymalną ilość punktów. Ja jestem zwolennikiem szybkich, przejrzystych i przede wszystkim mało czasochłonnych metod, jak najmniej kombinowania, bo z mojego doświadczenia wiem, że takie metody są łatwo "strawne" dla uczniów. Choć w zapisie niektóre z nich są nieco dłuższe niż szkolne, ale ze względu na przejrzystość − mniej czasochłonne. Taka metodą są np. stosowane przeze mnie proporcje do obliczeń procentowych. Wiadomo, że sprzedawca chcąc obliczyć ile wynosi 80 % ceny 200 zł zrobi tak: 0,8*200, wklepie to w kalkulator i nie będzie układał proporcji, ale nie każdy uczeń zrozumie ten zapis, a zwłaszcza uczeń szkoły podstawowej czy gimnazjum, który jest dopiero początkujacy w tej dziedzinie. Dodam, ze wielu licealistów też woli liczyć procenty proporcjami, dlatego stosuję tę metodę, bo uczniowi mniej czasu zajmie ułożenie proporcji niż zamiana procentu na ulamek i potem skracanie, a często uczniom myli sie np. kiedy się mnoży przez 100 %, a kiedy dzieli, tymczasem w proporcji to wyjdzie automatycznie. Podobnie jest z rozkładem wielomianów − Hornerem te współczynniki wyjdą automatycznie. Pozdrawiam.