enter: Witam! Bardzo proszę o pomoc w zebraniu wiadomości na temat sposobu rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną. Wiem, że równania i nierówności możemy podzielić na takie, gdzie (1) mamy niewiadomą przyrównaną do stałej, np. |x+2|=3 (2) niewiadoma występuje w module i poza modułem, np. 7.11 poniżej W przypadku (1) możemy postąpić tak: (a1) skorzystać z definicji wartości bezwzględnej, że |x|=a⇔x=a v x=-a, w przypadku nierówności analog z def czy są jeszcze jakieś inne sposoby i jaki jest najszybszy? W przypadku (2) można: (a2) rozważać przypadki Jest to dość długa metoda, czy istnieje jakaś inna? Czy jest różnica w rozwiązywaniu między zadanie gdzie moduł jest w liczniku a innym zadaniem gdzie moduł jest w mianowniku no i mamy jeszcze zmienne poza modułem? Czy poprostu tak jak w (2)- przypadki? Chciałabym również wiedzieć czy jest jakiś jeden uniwersalny sposób (niekoniecznie najszybszy czy też najlepszy w każdej sytuacji), który możemy zastosować do każdej nierówności i każdego równania z modułem? dodatkowo podam dwa zadania z którymi mam problem... rozwiązałam je ale nie wiem dlaczego wyszły źle. 7.11b) x²-2 ------- < x |x-3| 7.11c) |x| ---- ≤ 3 x+4

Jota: Witam! najpilniejszą matematyczkę Obojetnie gdzie wystepuje moduł ... musisz roaważyć dwa przypadki I x I = { x dla x≥0 { - x dla x <0 zad 7.11b) czyli w b) I x - 3I = { x - 3 dla x €< 3,∞) { - x +3 dla x€ ( -∞, 3) -- tu zmiana znaku bo -( x-3) = - x +3 I / dla x€ < 3,∞) mamy x² - 2 ------------ <x x -3 rozwiąż tę nierówność wiem że potrafisz i po rozwiązaniu wybierz część wspólną z x€ < 3, ∞) i ta część wsp. będzie odp; dopiero do pierwszej cz. II/ dla x€ (-∞, 3) mamy x² - 2 ---------- < x - x +3 podobnie! i wybierz cz. wsp. jako ostateczną odp ; do całego przykłady ( czyli tej nierówn. wyjściowej0 podaj x należący do sumy obedwu rozwiązań z cz. I i cz. II dasz radę ! powodzenia! Jak coś ? to pytaj! z c) juz prosto !... podobny sposób więc napewno sobie poradzisz!

enter: hmmm prawdę mówiąc to tak właśnie robiłam i ogólne pojęcie o modułach mam, ale wyszło mi inaczej niż powinno:(. x²-2 ------- < x |x-3| 1. x-3≥0 v 2.x-3<0 x≥3 v x<3 x²-2 x²-2 -------<x -------<x x-3 -x+3 x²-2-x²+3x x²-2+x²-3x ---------------- <0⇔ ----------------- <0⇔ (2x²-3x-2)(-x+3)<0 x-3 -x+3 | | ⇔(3x -2)(x-3)<0 Δ=25 x=-0,5 x=3 | | x=2 x=2/3 x=3 x∈(-∞;-0,5)U(2,∞) x∈(2/3;3) x∈zb pusty x∈(-∞;-0,5)U(2,3) a odp ma być (-0,5;2) co ja robię źle?

Jota: Jeżeli chodzi o Twoje pytanie do zad. typu I x +3I = 2 to tak jak zapisałaś! x + 3= 2 v x+3 = - 2 Można też wprost z interpretacji geometrycznej modułu! miejsce zerowe pod modułem to x= - 3 a rozwiazania to x -- odległe od - 3 o r= 2na prawo i na lewo od 3 - 2 +2 ------------(-5)-----------(-3)-----------(-1)---->x r = 2 r=2 ( jednakowa odległość o 2 jednostki od x=3 podobnie dla nierówności tego typu np; I x - 5I < 3 miejsce zerowe pod modułem x= 5 r= 3 ---------------------------------- 5+3=8 5 - 3=2 Ix -5I>3 I Ix -5I<3 I I x -5 I > 3 --------2---------------5---------------8----->x r= 3 r= 3 I x -5 I < 3 to x między 2 i 8 czyli x€ (2,8) I x -5 I > 3 to x poza 2 i 8 czyli x€ ( -∞,2) U (8,∞)

Jota: Za moment Ci policzę! OK? .... bo na 15 min. musze wyjść!

enter: dobrze i dziękuję Ci z góry, Joto... przy okazji możesz zerknąć na kolejne dodane przeze mnie elementarne zadanie z parametrami, z działu funkcja wymierna.

Jota: Witam! Enterko! No mnie wychodzi tak jak w odp: x€ ( -1/2, 2) w tej nierówności poprawej str. źle wybierasz przedział! Nie zwróciłas uwagi ,że (2x² - 3x - 2) ( - x+3) <0 rozwiazanie będzie x€(- 1/2, 2) U ( 3, ∞) zaznaczyłam Ci wyraźnie minus ( nie uwzgledniłaś go i dlatego ! juz wiesz? gdzie popełniłas błąd?

enter: Jota, dziękuję... mój błąd tkwił nawet nie w tym, że rysując nie zauważyłam minusa jak sądziłaś, ale po prostu nie zaznaczyłam sobie trójki na minirysunku, więc nie miałam szans, żeby dobrze odczytać przedział... takiej głupoty to jeszcze nigdy nie popełniłam.. no ale cóż, późno było, a ja zmęczona

Bartek: Witam! mam pytanie co z tym x poza modułem. 2|x−3|=1−x