lb KM: Zna ktoś wzór na 1³+2³+3³+...+n³? Wpisuję w Google, to mi dziwne rzeczy wywala

Bogdan: ... = (1 + 2 + 3 + ... + n)²

Godzio:

	n(n + 1)
(		)2
	2

KM: Dzięki

KM: Ale da się to jakoś wyprowadzić? Bo aż się sama zdziwiłam, jak z (1+2+3+...+n)² powstaje 1³+2³+3³+...+n³

elwira91: mozesz udowodni to indukcyjnie

AS:

	n
S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n =		*(n + 1)
	2

S2 = 1² + 2² + ... + n² Korzystam z tożsamości (x + 1)³ − x³ = 3x² + 3x + 1 dla x = 1,2,3,..,n otrzymujemy 2³ − 1³ = 3*1² + 3*1 + 1 3³ − 2³ = 3*2² + 3*2 + 1 4³ − 3³ = 3*3² + 3*3 + 1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (n + 1)³ − n³ = 3n² + 3n + 1 stronami dodajemy (n + 1)³ − 1³ = 3(1² + 2² + 3² + ... + n²) + 3(1 + 2 + 3 + ... + n) + n Oznaczając 1² + 2² + ... + n² przez S2 mamy

	n
(n + 1)3 − 13 = 3S2 + 3*		(n + 1) + n
	2

	3		3
n3 + 3n2 + 3n + 1 − 1 = 3S2 +		n2 +		n + n |*2
	2		2

2n³ + 6n² + 6n = 6S2 + 3n² + 3n + 2n 6S2 = 2n³ + 3n² + n

	n
S2 =		(2n2 + 3n + 1)
	6

	n
S2 =		n(n + 1)(2n + 1)
	6

Suma sześcianów S3 = 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ korzystam z tożsamości (x + 1)⁴ − x⁴ = 4x³ + 6x² + 4x + 1 dla x = 1,2,3,...,n otrzymujemy 2⁴ − 1⁴ = 4*1³ + 6*1² + 4*2 + 1 3⁴ − 2⁴ = 4*2³ + 6*2² + 4*2 + 1 4⁴ − 3⁴ = 4*3³ + 6*3² + 4*3 + 1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (n + 1)⁴ − n⁴ = 4n³ + 6n² + 4n + 1 Stronami dodajemy (n + 1)⁴ − 1⁴ = 4*(1³ + 2³ + ... + n³) + 6(1² + 2² + .. +n²) + 4(1 + 2 + ... + n) + n

	n		n
n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1 − 1 = 4S3 + 6*		(n + 1)*(2n + 1) + 4		(n + 1) + n
	6		2

4S3 = n⁴ + 4n³ + 6n² + 4n − n(2n² + 3n + 1) − 2n(n + 1) − n 4S3 = n⁴ + 2n³ + n² 4S3 = n²(n² + 2n + 1)

	1
S3 =		n2*(n + 1)2 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2
	4