snopka: jak obliczyć pochodzną z: x^x x To jest x do potęgi x do potęgi x

lisek: x^xx' = x^xx(1+ln x^x)*x^x(1+ln x)

snopka: A skąd wzieles to (1+ln x^x)?

lisek: Taki jest wzór na pochodną x^x. A w związku z tym, że jest to funkcja złożona, więc tak wyszło

snopka: Aha, ale który wzór? a^x?

lisek: x^x' = x^x (1 + ln x)

snopka: Aha, a możesz mi jeszcze zrobić: x² x bo bym chciała to dobrze zrozumieć.

Bogdan: Najpierw wyznaczymy pochodną funkcji y = x^x logarytmujemy obustronnie: lny = lnx^x korzystając z własności logarytmów otrzymujemy: lny = x*lnx wyznaczamy pochodne po lewej i po prawej stronie pamiętając, że lny jest funkcją złożoną y'/y = 1*lnx + x*(1/x) mnożymy obustronnie przez y y' = y(lnx + 1) → y' = x^x(lnx + 1) x^x Teraz wracamy do funkcji y=x i postępujemy podobnie: lny = x^xlnx wyznaczamy pochodne po lewej i po prawej stronie biorąc wyznaczoną wcześniej pochodną funkcji y = x^x y'/y = x^x(lnx+1)*lnx + x^x(1/x) mnożymy obustronnie przez y y' = y(x^x(lnx+1)lnx + x^x-1) i na koniec wstawiamy w miejsce y wyrażenie x do potęgi x do potęgi x