szeregi elwira91: POMOCY WAZNE Zbadać zbieżność szeregu: ∞

	1
∑
	lnn(n+1)

n=1

elwira91: pomoze ktos

Basia: ponieważ dla każdego n≥1 ln(n+1)≥ln2>0 można zastosować kryterium Cauchy'ego i ono powinno rozstrzygnąć

	1
an =
	lnn(n+1)

	1
n√an =		→ 0
	ln(n+1)

czyli szereg jest zbieżny

elwira91: dziekuje ci a jak poradzic sobie z czyms takim? ∞

	1
∑		cosπn2
	ln2n

n=2

elwira91: prosze o pomoc

elwira91: a moze pomozecie mi w tym, plisss ∞

	(−1)n
∑
	n2+(−1)n

n=2

sushi_ gg6397228:

	1
∑
	n2

elwira91: a gdzie Ci uciekla ta jedynka w mianowniku?

sushi_ gg6397228: to jest ograniczenie z gory −−> szereg prownawczy

elwira91: aha dobra juz czaje, a powiedz mi czy w tym czyms ma isc tak: ∞

	(−1)n		1
∑		to to idzie tak ze mam		i w mianowniku ∞−∞ co daje ∞ czyli
	n−lnn		n−lnn

calosc n=1 dazy do 0 a tym samym szereg zbiezny dobrze mysle czy cos zle?

sushi_ gg6397228: ∞−∞ == symbol nieoznaczony ( wiec granice moga byc rozne np : a) n−n=0 b) n²−n−−> +∞ c) n−n²−−> −∞ d) (n+1)−n= 1 w naszym przypadku n−ln n −−> +∞ ( bo n dąży szybciej do nieskonczonosci niz logarytm naturalny)

1
	tez dazy do 0 szereg niestety rozbiezny
n

sushi_ gg6397228: Twoj szereg jest naprzemienny wie mozna ewentualnie z Leibnitza

elwira91: dobra czaje to dzieki a masz moze pomysl jak poradzic sobie z tym? ∞

	1
∑		cosπn2 czy nie za bardzo?
	ln2n

n=2

elwira91:

	1
a jezeli chodzi o leibniza to i tak w sumie musze udowodnic ze		→0 wiec w sumie na
	n−lnn

jedno wychodzi?

sushi_ gg6397228: cos πn² ograniczony przez −1 i +1 trzeba sie dolem zajac cos πn² −−> produkuje 1 lub "−1"

sushi_ gg6397228: ln x< x podstawowa zaleznosc ( dla x dodatnich)

elwira91: czyli jak mamy cosπn² to to jest naprzemienne i z leibniza wystarczy udowodnic tylko ze

	1
		jest malejacy i zbiezny do 0?
	ln2n

sushi_ gg6397228: cos πn² − ograniczony ( daje −1, 1, −1, 1,....) tak Leibnitz sie kłania w pas

sushi_ gg6397228:

	en
n− ln n= n* ln e − ln n = ln en − ln n= ln
	n

en
	−−> potraktowac raz de Hospitalem −−−> +∞
n

wiec ln ([+∞]) −−−> +∞

elwira91: spoko ok to jeszcze mi to ostatnie powiedz skoro tak Ci dobrze idzie ∞

	1		1
∑ (cos		+sin		)
	n		n

n=1

sushi_ gg6397228: wyraz ogolny ciagu dązy do 1

elwira91: spoko ale jezeli bym chciala z kryterium porownawczego to zrobic to z czym to porownac?

sushi_ gg6397228: ze swoim długim czerwonym jęzorkiem porownawczy sie robi dla ciagu a_n −−> 0

elwira91: czyli w tym wypadku dla sinusa? ale wiesz bo ogolne zalozenie jest takie ze ciag a_n i b_n sa≥0 no i to spelnia czy tu stosujemy dla sinusa jezeli mowisz ze a_n ma dazyc do 0? btw rozumiem ze humorek trzyma

Basia: przy n→+∞ sin¹_n→0 ale cos¹_n→1 stąd sin¹_n+cos¹_n→1 nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu koniec, kropka, żadne kryteria nie mają tu nic do roboty

elwira91: ja wiem ale jak mam w tresci zeby zrobic to z porownawczego no to co ja mam zrobic? napisac ze warunek konieczny nie jest spelniony i innym sposobem sie tego zrobic nie powinno? pytam tylko

Basia: powinnaś napisać, że nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu i na tym poprzestać chociaż aż się prosi o nieco bardziej złośliwą odpowiedź dla autora zadania, który w tym miejscu chce narzucić posługiwanie się kryterium porównawczym, ale to może lepiej nie teraz

elwira91: ok dzieki wielkie

Basia: można ostatecznie tak: ⋀_n∊N sin¹_n>0 ⋀_{n∊N i n≥2} ¹_n<^π₃ ⇒ ⋀_{n∊N i n≥2} cos¹_n>¹₂ stąd ∑(sin¹_n+cos¹_n) ≥ 0+cos1+∑_n=2 ¹₂ a to oczywiście jest szereg rozbieżny można, tylko PO CO

elwira91: zeby zadowolic autora zadania dzieki Basia