calka snake: ∫√4+x2 podstwiam x=2cost dx=−2sintdt wychodzi −4∫√1+cos2t*sintdt co dalej?

snake: bardzo prosze

snake: ?

AS:

	x2 + a		x2		a
J = ∫√x2 + adx = ∫		dx = ∫		dx + ∫		dx
	√x2 + a		{√x2 + a}		√x2 + a

J = J1 + J2

	a
J2 = ∫		dx
	√x2 + a

Stosuję I podstawienie Eulera x + √x² + a = t ⇒ √x² + a = t − x obustronnie kwadratuję

	t2 − a
x2 + a = t2 − 2tx + x2 ⇒ x =		i t ≠ 0
	2t

	t2 − a		t2 + a
√x2 + a = t − x = t −		=
	2t		2t

Wyliczam x

	t2 + a		t2 − a
x = t −		=
	2t		2t

	1		a		1		a
x =		(t −		) dx =		(1 +		)dt
	2		t		2		t2

	1		a		t2 + a		dt
J2 = a∫[		(1 +		)/(		)]dt = a		= aln|t|
	2		t2		2t		t

J2 = aln|t + √x² + a| =================== J = ∫√x² + adx całkuje przez części u = √x² + a dv = dx

	2x
du =		dx v = x
	2√x2 + a

J = u*v − v∫du

	2x
J = x√x2 + a − ∫x		}dx
	2√x2 + a

	x2
J = x√x2 + a − ∫		dx
	√x2 + a

	x
J1 = x√x2 + a − J1 ⇒ 2J1 = x√x2 + a ⇒ J1 =		√x2 + a
	2

Ostatecznie uzyskujemy wynik J = J1 + J2

	x
J =		√x2 + a + aln|t + √x2 + a| + C
	2

AS: Korekta od wiersza następnego po J J = ∫√x² + adx = x√x² + a − J1 ∫x√x² + a − J1 = J1 + J2 ∫x√x² + a = 2J1 + J2

	1
J1 =		(x√x2 + a − J2)
	2

	1		1
J1 =		x√x2 + a −		J2
	2		2

Ostatecznie

	1		1
J = J1 + J2 =		x√x2 + a −		J2 + J2
	2		2

	1		1
J =		x√x2 + a +		J2
	2		2

	1		a
J =		x√x2 + a +		ln(|x + √x2 + a| + C
	2		2