Anka: Wykorzystując nierówność trójkąta udowodnij, że przyprostokątna w dowolnym trójkącie prostokątnym jest krótsza od przeciwprostokątnej.

Basia: nie mam żadnego pomysłu ! może Eta, Bogdan, Anmario albo Jakub pomogą ?

Jakub: Hmm, też brak pomysłu

Bogdan: Dzień dobry. Dopiero dzisiaj zauważyłem zaproszenie Basi do zmierzenia się z zadankiem Ani. Spróbuję. Niech a, b oznaczają długości przyprostokątnych, c - długość przeciwprostokątnej, α - miara kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, Przyjmujemy: a > 0, b > 0, c > 0, a/c = sinα € (0, 1) i b/c = cosα € (0, 1) lub a/c = cosα € (0, 1) i b/c = sinα € (0, 1) Mamy wykazać, że a < c i b < c. Z nierówności trójkąta otrzymujemy: a - b < c < a + b dla a > b lub b - a < c < a + b dla b > a Każda z tych nierówności jest też prawdziwa dla a = b. Podzielmy te nierówności przez c i otrzymujemy: a/c - b/c < 1 < a/c + b/c lub b/c - a/c < 1 < a/c + b/c. Występują tu wielkości: a/c, b/c, których wartości z założenia są dodatnie i mniejsze od 1. a/c < 1 i b/c < 1 Mnożymy ostatnie nierówności przez c i mamy: a < c i b < c, a więc długości przyprostokątnych są mniejsze od długości przeciwprostokątnej, co należało wykazać. Proszę o opinię do przedstawionego rozwiązania, czy można uznać go za dowód? Pozdrawiam wszystkich na tym forum.

Basia: Oczywiście, nie tylko można, to po prostu jest dowód. Prawdę mówiąc nie wiem dlaczego uparłam się, żeby nie wykorzystywać funkcji trygonometrycznych. Chyba dajemy się czasem zasugerować. Nierówność trójkata to nierówność trójkata i nic więcej. A przecież oczywiście tak być nie musi. Pozdrowienia

Basia: O rany ! Proste jak..... "doklejamy" trójkąt przystający wzdłuż przypr. b powstaje trójkąt równoramienny: podstawa 2a, ramiona c czyli 2a<c+c 2a<2c a<c "doklejamy trójkat przystający wzdłuż przypr.a powstaje trójkat równoramienny: podstawa 2b , ramiona c 2b<c+c 2b<2c b<c

Bogdan: Gratuluję Basiu, proste jak drut

Basia: Będzie to bez watpienia kryptoreklama, ale olśniło mnie nagle gdy sobie pogryzałam ptasie mleczko. Cukier krzepi. (to nie ja, to Wańkowicz)

Bogdan: To ja idę po gorzką czekoladkę, podobno też tak działa

Jota: Ja , bez gorzkiej czekolady ?.... nie zaglądam do tego forum! Pozdrawiam Was!.....