wykaz,ze czekolada: wykaż,że cos(α+β)*cos(α−β)≤1 pomoze ktos

Bogdan:

	1		1
cos(α + β) * cos(α − β) =		* 2cos(α + β)cos(α − β) =		(cosα + cosβ) =
	2		2

	1		1
=		cosα +		cosβ ≤ 1
	2		2

	1		1
cosα ≤ 1 ⇒		cosα ≤
	2		2

	1		1
cosβ ≤ 1 ⇒		cosβ ≤
	2		2

+ −−−−−−−−−−−−−−

	1		1
		cosα +		cosβ ≤ 1
	2		2

czekolada:

	1
skad sie wzielo to		(cos α+cosβ) bo nie widze tego przejscia.. tzn.nie rozumiem jak
	2

to zrobiles,ze nagle tak Ci wyszlo..

Bogdan:

	α + β		α − β
Korzystam z wzoru: cosα + cosβ = 2cos		cos
	2		2

Mam w swojej propozycji rozwiązania nieścisłość, ale kierunek rozwiązania jest poprawny. Zaraz poprawię nieścisłość

Al Capone: cos(α+β)*cos(α−β)≤1 ⇔ ¹₂[cos2α + cos2β]≤1 ⇔ cos2α + cos2β ≤2 cosx−max =1 ⇒ cos(α+β)*cos(α−β)≤1 c.n.w

Bogdan:

	1		2α + 2β		2α − 2β
cos(α + β)*cos(α − β) =		*2cos		cos		=
	2		2		2

	1		1		1
=		(cos2α + cos2β) =		cos2α +		cos2β ≤ 1
	2		2		2

	1		1
cos2α ≤ 1 ⇒		cos2α ≤
	2		2

	1		1
cos2β ≤ 1 ⇒		cos2β ≤
	2		2

+ −−−−−−−−−−−−−−−−−−

	1		1
		cos2α +		cos2β ≤ 1
	2		2

czekolada: dziekuje teraz rozumiem.

AS: A nie można by tak? Z własności funkcji cos mamy |cos(α + β)| <= 1 Podobnie |cos(α − β)| <= 1 a więc przyjmują wartości z przedziału <−1,1> Iloczyn dowolnie przyjętych wartości dla cos(α + β) i cos(α − β) też musi należeć do <−1,1>

Bogdan: Myślę Asie, że można.

AS: Korzystam z tożsamości

	1
cosα*cosβ =		[cos(α + β) + cos(α − β)]
	2

Maksymalną wartość jaką może przyjąć cosα lub cosβ jest 1 tym samym wartością maksymalną iloczynu cosα*cosβ jest 1 Pdobnie Minimalną wartość jaką może przyjąć cosα lub cosβ jest −1 tym samym wartością minimalną iloczynu cosα*cosβ jest −1 A więc wartości cosα*cosβ zawierają się w przedziale <−1,1>

Tomek.Noah: cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ cos(α+β)cos(α−β)=cos²αcos²β−sin²αsin²β= (1−sin²α)(1−sin²β)−sin²αsin^β= =1−sin²β−sin²α+sin²αsin²β−sin²αsin²β=1−sin²α−sin²β≤1 ⇒ −sin²α−sin²β≤0 /*(−1) sin²α+sin²β≥0 c.b.d.o gdyz syum akwadratow liczb zawsze jest wieksza badz rowna zero