równania trygonometryczne ja: czy da się to rozwiązać? sinx + cosx = ctgx − tgx Wiele osób próbowało, ale polegli... może to po prostu nie jest do rozwiązania? (chodzi o wynik : x=..., a nie o sprawdzenie tożsamości)

ja: up

Marcin W: da sie oczywiście

ja: to pokaż jak jeśli możesz

Łukasz: Kolega ja wycwanil sie nie mowiac ze jest to tozsamosc jednakze po sprawdzeniu tozsamosci wychodzi sin x = − cos x ,co po narysowaniu jest nieprawda zatem nie ma takiej liczby ktora spelnila by podane warunki.

Eta: założenie, sinx≠0 i cosx≠0

	cos2x − sin2x
sinx+ cosx =		}
	sinx*cosx

podnosimy stronami do kwadratu:

	( cosx−sinx)2*(cosx+sinx)2
1+2sinx*cosx =
	sin2x*cos2x

	(1−2sinxcosx)(1+2sinxcosx)
1+ 2sinxcosx=
	sinx*cosx*sinx*cosx

	4( 1+2sinxcosx)(1−2sinxcosx)
1+2sinxcosx=
	4sinx*cosx*sinx*cosx

podstawiamy za: 2sinxcosx= sin2x= t , dla t€ <−1,1>

	4(1+t)(1−t)
1+t =
	t2

t²( 1+t) − 4( 1−t)(1+t)=0 ( t+1)( t² +4t −4)=0 t₁= −1 , Δ=....... t₂=...... t₃=....... ( pamiętając, że t€ <−1,1> dokończ........ P.S. może ktoś poda jeszcze inny, prostszy sposób? ........

Heniek: t1=−1 sin2x=t sin2x=−1 sin −^π₂=−1 2x=−^π₂ x=−^π₄ http://www.pitagoras.info/content/view/146/43/ wedlug tego sie nie zgadza czy cos zle polczylem?

ja: dzięki wielkie Eta jak to przeczytałam to pomyślałam : "kurcze, jakie to proste" Tylko, żeby jeszcze na to samemu wpaść ... Jeszcze raz dziękuję

Eta:

	3
sin2x= −1 => 2x=		π+k*2π
	2

	3
x=		π+ k*π , k€C
	4

Eta: Do ja tylko ten drugi "t" jest niezbyt ciekawy t= −2+2√2 choć € <−1,1>

Jack: a podnosząc obie strony do kwadratu nie generujemy "rozwiazań"?

Eta: To "wygeneruj" swoje rozwiązanie Jack Chętnie je zobaczę .

Jack: prawdę mówiąc nie specjalnie mam czas na rozpisywanie... Ale mając równość, faktycznie można bez konsekwencji podnieść obie strony Zwracam honor (którego nie splamiłem!)

Eta:

Basia: Dopiero teraz zobaczyłam Eto Twoje pytanie. Nie widzę za bardzo innego sposobu, ale wygenerować rozwiązania obce owszem można przykład: 2x−2=x+3 x=5 4x²−8x+4=x²+6x+9 3x²−14x−5=0 x₁=5 x₂=−1 należałoby to sprawdzać

Basia: inny sposób: (ale nie bardzo inny)

	(cosx−sinx)(cosx+sinx)
sinx+cosx =
	sinxcosx

1. sinx+cosx=0 sinx=−cosx=sin(^π₂+x) ^π₂+x = x+2kπ lub ^π₂+x=π−x+2kπ ^π₂=2kπ sprzeczność lub 2x = (2k+1)π−^π₂ x = (2k+1)^π₂+^π₄ = kπ+^π₂+^π₄ = ^3π₄+kπ 2. sinx+cosx≠0

	(cosx−sinx)(cosx+sinx)
sinx+cosx =		/: (sinx+cosx)
	sinxcosx

cosx−sinx
	=1
sinxcosx

ale teraz też muszę podnieść do kwadratu czyli po uzyskaniu rozwiązania niestety sprawdzać czy mi tam −1 nie "wlazło"

cos2x−2sincosx+sinx
	=1
sin2cos2x

1−2sinxcosx = sin²xcos²x 1−sin2x=¹₄sin²2x ¹₄sin²2x+sin2x−1=0 Δ=1+1=2

	−1−√2
sin2x =		= −2(−1−√2) odpada
	12

lub

	−1+√2
sin2x =		=2(−1+√2)
	12

cos2x=√1−4(2−2√2+1) = √1−8+8√2−1 = 2√2(√2−1} z tego mogę policzyć sinx i cosx i sprawdzać czy nie ma tam rozwiązania −1, ale to katorżnicza praca; to samo zresztą można zrobić w rozwiązaniu Ety nie ręczę za poprawność rachunków, ale chyba dobre bo wyniki są identyczne

AS: Rozwiązać równanie: sixx + cosx = ctgx − tgx Podstawiam tgx = t Wtedy sinx = t/√1 + t² , cosx = 1/√1 + t² , ctgx = 1/t Podstawiając do równania mamy t/√1 + t² + 1/√1 + t² = 1/t − t |t*√1 + t² t² + t = (1 − t²)*√1 + t² t*(t + 1) = (1 + t)*(1 − t)*√1 + t² t*(t + 1) − (1 + t)*(1 − t)*√1 + t² = 0 (t + 1)*(t − (1 − t)*√1 + t²) = 0 a) t + 1 = 0 ⇒ t 1 = −1 b) t = (1 − t)*√1 + t² do kwadratu t² = (1 − 2*t + t²)*(1 + t²) Po wymnożeniu i uporządkowaniu t⁴ − 2*t³ + t² − 2*t + 1 = 0 Stosując metodę Newtona znalazłem,że t2 = 0.53101 , t3 = 1.883204 Stąd rozwiązania tgx1 = −1 , tgx2 = 0.53101 , tgx3 = 1.883204 x3 nie spełnia warunków zadania , jest pierwiastkiem obcym x1 = 135^o , x2 = 27.96875^o

AS: Post scriptum Równanie t⁴ − 2*t³ + t² − 2*t + 1 = 0 można rozwiązać jako równanie symetryczne Dzielę stronami przez t² t ≠ 0 t² − 2*t + 1 − 2/t + 1/t² = 0 t² + 1/t² − 2*(t + 1/t) + 1 = 0 Podstawiam t + 1/t = u , t² + 1/t² = u² − 2 u² − 2 − 2*u + 1 = 0 u² − 2*u − 1 = 0 Δ = (−2)² − 4*(−1) = 8 , √Δ = √8 = 2*√2

	2 − 2√2
u1 =		= 1 − √2
	2

	2 + 2√2
u2 =		= 1 + √2
	2

Wracam do podstawienia t + 1/t = 1 − √2 t² − (1 − √2)*t + 1 = 0 Δ = (1 − √2)² − 4 = −1 − 2*√2 < 0 brak rozwiązania t + 1/t = 1 + √2 t² − (1 + √2)*t + 1 = 0 Δ = (1 + √2)² − 4 = 2*√2 − 1 > 0

	1 + √2 − √2*√2 − 1
t1 =		≈ 0.53101
	2

	1 + √2 + √2*√2 − 1
t2 =		≈ 1.883204
	2