Całki Godzio: Chciałem zapytać czy da się funkcję Riemanna zapisać w postaci sum górnych i dolnych Darbouxa ?

Jack: mówisz o funkcji ξ (zeta) Riemianna czy tej http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_Riemanna? Jesli o drugiej to masz z linku odpowiedź

Godzio: Właśnie chodzi o tą z linku, i na to wychodzi że da się i wychodzi 0 tak ?

Jack: wydaje mi się, że nie da się tego zrobić. Pospieszyłem się z odpowiedzią w poprzednim poście... (nie będzie ona taka prosta) Wydaje mi się, że wynika to z tego, że jest ona nieograniczona (ani z dołu ani z góry). Zerknij tu: http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_14:_Ca%C5%82ka_Riemanna_funkcji_jednej_zmiennej

Godzio: O sory ... ja też popełniłem błąd, bo mam tą funkcję tylko na przedziale [0,1] −− na nim by się już dało jakoś ?

Jack: hm bedzie ograniczona i jest całkowalna w sensie Riemanna. Wydaje mi się że powinna również dać się zapisać w postaci wspomnianych sum.

Godzio: No to teraz inne pytanie, jak je zapisać, próbowałem już z 4 sposoby i nigdy nie chce mi poprawnie wyjść, bo wiadomo dla argumentów niewymiernych to jest zero ale dla wymiernych to jak brać ? zaraz zapiszę jak ja to rozumuję

Godzio: W sumie jak zacząłem pisać to zauważyłem przecież że ona jest ciągła tylko w punktach więc coś nie tak, chyba jednak nie mam żadnego pomysłu

Jack: nie znam się dobrze na analizie, ale wydaje mi się, że trzeba by skorzystać z definicji tych sum: podzielić nasz przedział na n cześci i przejść do granicy. Może wtedy się okaże, że nieciągłość w Q nie bedzie miała znaczenia... Zerknij tu: http://matematyka.pl/206166.htm Swoją drogą skąd masz takie zadanie?

Godzio: Z wykładu z politechniki , to co wysłałeś to akurat umiem dla takich zwykłych funkcji ale dla tej kompletnie nie wiem

Jack: zadanie wymaga jednak pewnego wysiłku, na który w tej chwili nie mam czasu (a możliwe że i wiedzy). Może Basia Ci pomoże, ona jest w końcu matematyczką

Godzio: Ogólnie to mam wykazać dla tej funkcji że: S_n − s_n < ε

Godzio: Dobra w takim razie poczekam na nią , dzięki

Jack: ja również, ciekawe zadanie. Tak myślę, że jesli weźmiesz wolny punkt q to w jego otoczeniu znajdziesz również punkt q' taki, że q−q'<ε ponieważ, zbiór Q jest gęsty.

Godzio: Odświeżam bo widzę, że Basia się pojawiła

Basia: Godziu napisz mi może pełną treść, bo nie jestem pewna o co w końcu chodzi. Czy o policzenie sum Darboux czy o teoretyczne wykazanie, że ∀_ε>0 S_n−s_n<ε Jeżeli o to ostatnie to można się "wykręcić sianem" Funkcja jest całkowalna w całej swojej dziedzinie (bo zbiór punktów nieciągłości jest zbiorem miary 0) ⇒ jest całkowalna na odcinku <0,1> (zbiór liczb niewymiernych z <0,1> też jest zbiorem miary 0) ⇒ lim_n→+∞S_n = lim_n→+∞s_n = ∫₀¹ f(x) dx = g ⇒

	ε		ε
dla dowolnego ε istnieje N takie, że dla każdego n0>N Sn−g<		i g−sn<		⇒
	2		2

dla dowolnego ε istnieje N takie, że dla każdego n₀>N

	ε		ε
Sn−g+g−sn<		+		=ε
	2		2

dlaczego mam prawo napisać S_n−g i g−s_n bez modułu jest chyba dla Ciebie jasne

Godzio: Właśnie chodzi o to teoretyczne wykazanie, zaraz przeanalizuje sobie to co napisałaś dokładnie

Godzio: Niezbyt rozumiem skąd się wzięło

	ε		ε
Sn − g <		i g − sn <
	2		2

reszta jest dla mnie zrozumiała ale to nie

Basia: poprawka: zbiór punktów nieciągłości z <0,1> .... (a nie liczb niewymiernych)

Godzio: Da się to jakoś wytłumaczyć czy to trzeba po prostu widzieć i już ?

Basia: wybieram dowolne ε>0 jeżeli S_n→g ⇒ ∀_ε<0..... itd. a więc także dla ∀_ε/2 ∃_N1 ∀_n>N1 |S_n−g|<ε/2 ⇒ ∀_ε/2 ∃_N1 ∀_n>N1 S_n−g<ε/2 jeżeli s_n→g ⇒ ∀_ε<0..... itd. a więc także dla ∀_ε/2 ∃_N2 ∀_n>N2 |s_n−g|<ε/2 ⇒ ∀_ε/2 ∃_N1 ∀_n>N2 g−s_n|<ε/2 stąd ∀_ε ∃_{N0=max(N1,N2)} ∀_n>N0 S_n−g<ε/2 ∧ g−s_n<ε/2

Basia: jeżeli coś zachodzi dla każdego ε to zachodzi też dla połowy tego ε, i każdego ułamka tego ε jeszcze inaczej jeżeli coś zachodzi dla dowolnie małej liczby dodatniej, to zachodzi dla jej połowy (bo to też mała liczba dodatnia) i dla każdego dowolnie małego jej ułamka (bo ten ułamek też jest dodatni a skoro dla każdej liczby dodatniej to i dla tego ułamka) to tylko pozornie wygląda jak masło maślane; trzeba to przemyśleć chociaż dla mnie to oczywiste

Godzio: no dobra, wiemy że istnieje ε dla którego:

	ε
|Sn − g| < ε, ale dlaczego można sobie założyć że spełnia to także		?
	2

Godzio: No tak, ale w końcu jak ε będziemy dzielić tak bardzo dużo razy to w końcu nie będzie się zgadzało, bo z tego co przeczytałem i zrozumiałem to jest to założenie że taka liczba istnieje

	ε
w tym wypadku
	2

Basia: nie bardzo rozumiem jeżeli coś zachodzi dla każdego ε>0 to zachodzi np. dla ε=1 i musi zachodzić także dla ε/2=¹₂ i musi zachodzić dla ε/100 = 0,01 i musi zachodzić dla dowolnego ε/n (bo to też liczba dodatnia, a zachodzi dla każdej) a dobieramy sobie ten ułamek jak nam akurat pasuje gorzej z tym zbiorem miary zero nie wiem czy mówiliście już w ogóle o miarach teoria miary to cały potężny dział związany z teorią mnogości i topologią i udowodnienie, że zbiór punktów nieciągłości jest zbiorem miary 0, to już nie jest taka prosta sprawa chociaż to nieprawda, prosta, pod warunkiem, że znamy już pojęcie miary poczytaj tutaj http://pl.wikipedia.org/wiki/Zbi%C3%B3r_miary_zero w zakładce Przykłady i własności masz właściwie udowodnione, że to jest zbiór miary 0

Godzio: Basia dobra o to mi chodziło , z tymi miarami jeszcze nic nie mieliśmy i tak mało rozumiem także na teraz odpuszczę sobie to, a w swoim czasie na pewno wrócę Wielki dzięki ja już uciekam