Funkcja kwadratowa z parametrem Raffis: Witam, mam dwa zadania, borykam się i nie wiem jak rozwiązać. 1)Pierwiastkami równania x² + bx +2b = 0 są dwie różne liczby: x₁,x₂. Stosując wzory Viete'a zbadaj, czy istnieje taka wartość parametru b, dla której wyrażenie x₁²x₂ + x₁x₂² + 3x₁x₂ osiąga wartość równą 4. Odp. Nie istnieje. 2)Dla jakich wartości parametru m równanie x² −2(m−1)x + 2m + 1 = 0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste różnych znaków? Odp. m∊(−∞,−¹₂)

nikka: Zad.2 1. a≠0 spełniony bo a=1 2. Δ > 0 3. x₁*x₂ < 0

nikka: Wzory Viete'a : f(x) = ax² + bx + c

	b
x1+x2 = −
	a

	c
x1*x2 =
	a

Tragos: 2) równanie ma dwa pierwiastki, gdy: 1. a > 0 ⇔ 1 > 0 ⇒ m ∊ R 2. Δ > 0 ⇔ Δ = [−2(m−1)]² − 4(2m+1) = (−2m+2)² − 8m − 4 = 4m² − 8m + 4 − 8m − 4 = 4m² − 16m 4m² − 16m > 0 4m(m − 4) > 0 m ∊ (−∞, 0) ∪ (4, +∞) 3. x₁*x₂ < 0

c
	< 0
a

2m + 1 < 0 2m < −1 m < −¹₂ Uwzględniając 1 ⋀ 2 ⋀ 3 otrzymujemy: m ∊ (−∞, −¹₂) czyli dobrze

Raffis: No ja zacząłem rozwiązywać na założeniach które podał nikka i się zatrzymałem przy 4m²−16m>0 Zacząłem to deltą rozwiązywać i mi wyszlo −4 i 0, a Tobie 4 i 0, a powinno chyba wyjść tak samo. Ps. Twoją metodą jest oczywiście szybciej ale zapomniałem o tym

Raffis: Aha okej, machnąłem się. Wyszło tak samo

Tragos: w zad. 1 wychodzi b ∊ ∅, ponieważ 1. a ≠ 0 ⇒b ∊ R 2. Δ > 0 x² +bx + 2b = 0 b² − 8b > 0 b(b−8) > 0 b ∊ (−∞, 0) ∪ b (8, +∞) 3. x₁²x₂ + x₁x₂² + 3x₁x₂ = 4 x₁x₂ (x₁+x₂) + 3x₁x₂ − 4 = 0 x₁x₂ (x₁+x₂+3) − 4 = 0 2b[−b + 3] − 4 = 0 −2b² + 6b − 4 = 0 (:2) b² − 3b + 2 = 0 b = 2 ⋁ b = 1 Uwzględniając 1 ⋀ 2 ⋀ 3 otrzymujemy b ∊ ∅

Raffis: Mam drugie podobne zadanie, próbowałem zrobić samemu przekształcając: (x₁+3x₂)(x₂+3x₁)=16 wyszło mi: x₁x₂+3x₁²+3x₂²+9x₁x₂=16 10x₁x₂+3(x₁+x₂)²−2x₁x₂ Tylko następnie podstawiając pod x₁ i x₂ z równania x²−(b+1)x + b = 0 wyszło mi: 10b + 3 [−(b+1)]²−2b−16=0 3b²+8b−13=0 delta mi wyszła ujemna i gdzieś chyba bubla walnąłem. Prawidłowa odpowiedź (pytanie takie jak w 1. poście) to: b=−4¹₃

Raffis: Chciałbym się jeszcze dowiedzieć czy dobrze wybrałem założenia przy poszczególnych zadaniach: a)Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne rzeczywiste pierwiastki dodanie? 1.a≠0 2.Δ>0 3. x₁x₂>0 b) Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste jednakowych znaków? Wydaję mi się, że będą tutaj dwa różne rozwiązania, czyli a)1.a≠0 2.Δ>0 3.x₁x₂<0 b)1.a≠0 2.Δ>0 3.x₁x₂>0 Odp to będzie a ∪ b c) Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste ujemne? 1.a≠0 2.Δ>0 3.x₁x₂<0

Raffis: Pomógłby ktos?

a: Do a) dopisz x₁ + x₂ > 0 Do c) analogicznie x₁ + x₂ < 0

a: Jeszcze do c) x₁x₂ > 0 (iloczyn dwóch liczb ujemnych daje liczbę dodatnią)

Raffis: Dzieki wielkie