macierze i indukcja MIchał: Dla podanych macierzy A obliczyć Aⁿ dla kilku początkowych wartości n, następnie wysunąć hipoteżę o postaci tych potęg i uzasadnić ją za pomocą indukcji matematycznej 1* 1 0 0 A= 0 −2 0 0 0 3 2* 1 1 0 A= 0 1 1 0 0 1 Bardziej mi chodzi o ten drugi przyklad i chcialbmy7 tutaj tez porzadna indukcje

Basia: a jakie masz wyniki mnożenia ? A²,A³,A⁴ ? napisz

MIchał: dla 1 1 0 0 1 do2 0 4 0 do3 8 0 0 9 27 itd dla 2 1 2 1 1 3 3 1 4 6 1 5 10 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 a² a³ A⁴ a⁵

Basia: w (1) widać związek Aⁿ = 1ⁿ 0 0 0 2ⁿ 0 0 0 3ⁿ w (2) Aⁿ = 1 n suma a₁₂+a₁₃ z poprzedniego 0 1 n 0 0 1 czyli jest to ciąg 0,1,3,6,10,15, 21..... wzór rekurencyjny mam c₁=0 c_n+1=c_n+(n−1) nie mogę wymyślić ogólnego, ale może do dowodu indukcyjnego nie będzie potrzebny tylko zapis bez wzoru ogólnego będzie beznadziejny jeszcze pomyślę

Basia:

	n*(n−1)
cn =
	2

no to teraz już chyba łatwo

Basia: potrafisz to sam udowodnić ? ja już za chwilę muszę kończyć mogę pomóc, ale dopiero jutro wieczorem

MIchał: Wolałbym zobaczyć te udowodnienie bo nie jestem pewny, w szczególności tez chciałbym pełną magiczna formułkę mieć ( na mocy zasady indukcji matematycznej stwierdzam ze to zdanie jest prawdziwe...) co do indukcji robie to tak: Zal: Aⁿ= .... Teza: Aⁿ+1= .... Dowód: Aⁿ+1= Aⁿ * A I staram się uzyskać L=P a zasada moja brzmi: Udowodniłem że wzór Aⁿ jest prawdziwy, to jest on prawdziwy dla Aⁿ+1. Zatem na mocy indukcji matematycznej stwierdzam ze to wyrażenie jest prawdziwe − coś takiego, ale potrzebowałbym dokładniejszej regułki, Jak gdzieś błąd w indukcji to proszę o wytłumaczenie Z Góry THX

Basia: rozumowanie jest struprocentowo poprawne; dowody, jak obiecałam, napiszę Ci wieczorem

Basia: ad.1 masz tam błąd, którego nie zauważyłam wcześniej na przekątnej będzie: A² 1,4,9 A³ 1,−8,27 A⁴ 1,16,81 A⁵ 1,−32,243 stąd Aⁿ 1, (−2)ⁿ, 3ⁿ Tw. Jeżeli A= 1 0 0 0 −2 0 0 0 3 to Aⁿ= 1ⁿ 0 0 0 (−2)ⁿ 0 0 0 3ⁿ dowód: n=1 A¹= 1 0 0 = A 0 −2 0 0 0 3 Zał: A^k = 1^k 0 0; 0 (−2)^k 0; 0 0 3^k Teza: A^k+1 = 1^k+1 0 0; 0 (−2)^k+1 0; 0 0 3^k+1 d−d: A^k+1 = A^k*A = 1^k*1 0 0 0 (−2)^k*(−2) 0 0 0 3^k*3 = 1^k+1 0 0, 0 (−2)^k+1 0, 0 0 3^k+1 c.b.d.o. drugie spróbuj sam analogicznie; te macierze okropnie się tu pisze

Michal: ok zakapowalem to zadanko indukcje tez z tym ze nie wiem po co ta teza wstepna no i magiczna formulke tez juz mam jest ok pieknie dziekuje za poswiecony czas

Basia: bo taka była treść zadania: postaw hipotezę i udowodnij ją indukcyjnie

Michal: no dobra a jeszcze do przykladu c jak wyglada wzor dla aⁿ? 1 1+n−1 0+N* n−1/2 0 1 1+n−1 0 0 1

Basia: chodzi o ten drugi przykład ? Aⁿ = 1 n ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ 0 1 n 0 0 1

Michal: a no tak troche mi sie pomylilo... to zapraszam do zadania na temat geometrii analitycznej