pomocy... natalia: Udowodnij, że √3 jest liczbą niewymierną

natalia: pomocy...

Grześ: wygoogluj sobie, jest pełno dowodów tej właśnie tezy

AS: Spostrzeżenie: Kwadrat liczby parzystej lest liczbą parzystą Kwadrat liczby nieparzystej lest liczbą nieparzystą Załóżmy,że istnieje ułamek x/y równy √3

x
	= √3 ⇒ x2 = 3*y2
y

Przypadek 1 x i y parzysty − odrzucamy,gdyż taki ułamek jest skracalny przez 2 Przypadek 2 x parzysty , y nieparzysty Wtedy lewa strona parzysta,prawa nieparzysta , równość nie może zajść Przypadek 3 x nieparzysty , y parzysty Lewa strona nieparzysta,prawa parzysta,równość nie może zajść Przypadek 4 x nieparzysty,y nieparzysty przyjmuję x = 2*k + 1 , y = 2*l + 1 , k,l ∊ C Wtedy (2k + 1)² = 3*(2l + 1)² 4k² + 4k + 1 = 12l² + 12l + 3 4k² + 4k = 12l² + 12l + 2 |:2 2k² + 2k = 6l² + 6l + 1 2k*(k + 1) = 6l*(l + 1) + 1 lewa strona parzysta bo jest podzielna przez 2 prawa strona nieparzysta,gdyż 6l*(l + 1) jest parzyste,a powiększone o 1 nieparzyste Równość nie może zajść. Wniosek ostateczny: Nie istnieje ułamek o wartości √3 co świadczy o niewymierności pierwiastka

Jack: można oczywiscie z tw. o pierwiastkach wymiernych skorzystać.