monii: Trzy środkowe trójkąta dzielą go na 6 małych trójkątów. Wykaż, że pola wszystkich małych trójkątów otrzymanych w ten sposób są równe.

Sigma: Jakiego trójkata ? równobocznego?

monii: dowolnego

anmario: Ze wzoru na pole trójkąta: → → P=1/2*a*b*sin(a ,b ) To ostatnie to sinus kąta jaki tworzą boki a i b ma być I zadanie "wychodzi" od razu gdyż każda para tak utworzonych trójkątów ma dwa boki takiej samej długości przy czym środkowa tworzy z każdym bokiem dzielonego trójkąta kąt α i 180-α, no a sin(180-α)=sinα więc takie pola są identyczne. Dodatkowo, każda środkowa dzieli trójkąt na dwa o takich samych polach, z tego samego powodu.

b.: Można też tak: niech a,b,c,d,e,f oznaczają POLA kolejnych trójkącików, a 2S - pole dużego trójkąta ponieważ środkowa dzieli trójkąt na dwa o takich samych polach, więc a+b+c = d+e+f = S (1),(2) b+c+d = e+f+a = S (3),(4) c+d+e = f+a+b = S (5),(6) skąd da się wyliczyć, że a=b=c=d=e=f = S: np. odejmując stronami równania (1) i (3): a+b+c - (b+c+d) = S-S = 0 a -d = 0 a=d itd.

Sigma: Można i tak! Spodki środkowych tworza trójkat DEF podobny do trójkata ABC w skali 1/2 więc pola są w skali 1/4 Każda część trójkata ABC składa się z dwu trójkatów nawzajem podobnych ,bo np; DF I I BC i DF przecina AE w punkcie G Srodkowe Δ_ABC przecinają się w punkcie O zatem Δ_GOF i Δ_AGD oraz Δ_AGF i Δ_DGO są podobne więc pola Δ_ADO i Δ_AOF są równe Uogólniajac do pozostałych części ! Mamy wniosek : pola wszystkich tych części są równe!

monii: dzięki śliczne

Sigma: Ok! widzisz jak pracujemy dla Ciebie!