parzystość i nieparzystość funkcji cyklometrycznych nUmer: zbadać parzystość funkcji cyklometrycznej, np: f(x)= arctg2x Ogólnie wiem, że tylko cosinus jest parzysty, podejrzałem w "Poradniku Matematycznym" Bronsztejna, że z cyklometrycznych, żadna − jednak jak to obliczyć w przypadku odwrotności funkcji cyklometrycznej podniesionej do kwadratu?

nUmer: przepraszam najmocniej − chodzi o funkcję f(x)=arctg²x

Basia: napisz może o jaką funkcję chodzi f(x)=arctgx jest nieparzysta, co dość łatwo pokazać

Basia: oczywiście, że jest parzysta najpierw pokazujemy, że g(x)=arctgx jest nieparzysta g(x)=arctgx = y₁ ⇔ tgy₁=x g(−x)=arctg(−x)=y₂ ⇔ tgy₂=−x stąd tgy₂=−tg_y1 ⇔ y₂=−y₁ stąd arctg(−x)=−arctgx f(−x)=arctg²(−x)=(arctg(−x))² = (−arctgx)² = arctg²x = f(x)

nUmer: Dzięki. Jeśli byłabyś taka miła i pomogła mi w zadaniu podobnym: Udowodnij, że każda funkcja określona na przedziale symetrycznym względem 0 jest sumą funkcji parzystej i nieparzystej. Ja kombinuję zapewne nieco pod górkę: znak równości jest tu wyrazem symetryczności względem 0 parzysta to p(x) = p(−x) więc p(x)+p(−x) nieparzysta to n(x) = −n (−x) więc n(x)+(−n(−x) p+n ⇔ p=n ⇔ p(−x) + (−n(−x)) P = t n = t t(−x) = −t (−x) Choć to trochę takie samobójcze działanie. Z braku pomysłu stworzyłem działanie jak powyżej.