lb KM: Pierwiastek z liczby zespolonej √5−12i

	5		12
Obliczyłam |Z|=13, cos φ=		i sin φ =−		.
	13		13

Ale skąd mam teraz wiedzieć, co to za kąt?

balasek: z dupska

KM: Tyle to ja tez wiem

Grześ: cosinus dodatni, a sinus ujemny, więc jest to ćwiartka IV, czyli kąt należy do przedziału

	3
(		π,2π)
	2

Basia: nie musisz √5−12i = √13*(cos^φ+2kπ₂+isin^φ+2kπ₂)= √13*(cos(^φ₂+kπ)+isin(u{φ{2}+kπ)}= sin^φ₂ i cos^φ₂ można policzyć

KM:

	5
No ale przecież nie znamy dokłądnie tego kąta, bo cos φ jest		, więc jak łatwo znaleźć
	13

	φ
cos
	2

Basia: f.tryg. można wyliczyć, nie kąt sinφ=2sin^φ₂cos^φ₂ = ¹²₁₃ cosφ = cos^2φ₂−sin^2φ₂= ⁵₁₃ i masz układ równań, który pozwala wyliczyć sin^φ₂ i cos^φ₂

Basia: możesz też skorzystać z gotowych wzorów |sin^x₂| = √^1−cosx₂ |cos^x₂|= √^1+cosx₂

KM: Ale delta wychodzi ujemna, więc może jest jakiś inny sposób...

KM: OO, mam przed sobą tablice matematyczne i tam takich wzorów nie widziałam

Basia:

	12		6
cosx2 =		=
	13*2sinx2		13sinx2

36		5
	−sin2x2=		/*169sin2x2
169sin2x2		13

36−169sin^4x₂=5*13*sin^2x₂ 169sin^4x₂−65sin^2x₂−36 =0 Δ = (−65)²−4*169*(−36) = 5²*13²+4*13²*36 = 13²(25+144) = 13²*169 = 13⁴ jako żywo dodatnia

KM: Ok, coś musiałam namieszać zaraz sprawdzę

KM: A czy można to też zrobić takim sposobem: (a+bi)²=−8−6i a²+2abi−b²=−8−6i

⎧	a2−b2=−8
⎩	2ab=−6

	−3
a=
	b

9
	−b2=−8
b2

9−b⁴=−8b² t=b² t²−8t−9=0 Δ=64+36=100 t₁=−1 t₂=9 b₁=i b₂=3 b₃=−3 a₁=3i a₂=−1 a₃=1 Więc rozwiązanie równania są 3i−1, 3i−1, 1−3i

KM: Ok źle spojrzałam nieważne

AS: √5 − 12i = x − yi obie strony do kwadratu 5 − 12i = x² − 2xyi +y²i² i² 5 − 12i = x² − y² − 2xyi Porównuję współczynniki przy części rzeczywistej i nierzeczywistej x² − y² = 5 2xy = 12 ⇒ y = 6/x podstawiam do równania pierwszego x² − (6/x)² = 5 |*x² x⁴ − 5x² − 36 = 0 po wyliczeniu deltą mamy x² = −4 lub x² = 9 Wystarczy rozpatrzyć drugi przypadek x² = 9 ⇒ x1 = −3 lub x2 = 3 y1 = −2 lub y2 = 2 Stąd rozwiązanie √5 − 12i = −3 + 2i lub √5 − 12i = 3 − 2i Uwaga: Przy podstawianiu x i y muszą być przeciwnego znaku