bezradna: Wartość wyrażenia: 1-1/2+1/3-1/4+...+1/99-1/100 jest równa a) 1/2+1/3+1/4+...+1/49+1/50 b)1+1/50+1/51+...+1/99+1/100 c)1+1/2+1/3+...1/49+1/50 d)1+1/3+1/5+1/7+...+1/97+1/99 e) 1/51+1/52+...+1/99+1/100 i dlaczego?

Basia: wydaje mi się, że żadna nie pasuje ∑(1/n - 1/(n+1)) =∑ 1 / [n(n+1)] = 1/2 + 1/(3*4) + 1/(5*6) + ...... + 1/ (99*100) suma po n nieparzystych ale może chodzi o coś innego jaki to poziom ? i jaki zakres matriału ?

b.: na oko widać, że raczej (e), bo tylko ta suma ma podobny rząd wielkości - pozostałe liczby są za duże... spróbujmy niech S = 1+1/3 + 1/5 + ... + 1/99 - (1/2+1/4+...+1/100) mamy S + (1 + 1/2 + ... + 1/50) = = 1+1/3 + 1/5 + ... + 1/99 - (1 + 1/2 + ... + 1/50)/2 + (1 + 1/2 + ... + 1/50) = = 1+1/3 + 1/5 + ... + 1/99 + (1 + 1/2 + ... + 1/50) / 2 = = 1+1/3 + 1/5 + ... + 1/99 + (1/2 + 1/4 + ... + 1/100) po odjęciu (1 + 1/2 + ... + 1/50) od obu stron widać, że (e) jest poprawna

bezradna: czyli 1-1/2+1/3-1/4+...+1/99-1/100 =1+1/3 + 1/5 + ... + 1/99 TAK?

b.: hmm? nie (d), tylko (e) jest poprawna...

Basia: gra tylko może b. za szybko myślał i nie do końca wytłumaczył S₁ = 1-1/2+1/3-1/4+....+1/99-1/100= (1+1/3+1/5+....+1/99) - (1/2+1/4+....+1/100) = (1 +1/3+1/5+....+1/99) - 1/2(1+1/2+....+1/50) S₁ + (1+1/2+....+1/50) = 1+1/3+1/5+....+1/99 + 1/2(1+1/2+....+1/50) = 1+1/3+1/5+.....+1/99 +(1/2+1/4+.....+1/100) = 1 + 1/2+1/3+....+1/100 S_e+(1 +1/2+....+1/50) = 1+1/2+....+1/50+1/51+.....+1/100 stąd S₁+ (1+1/2+....+1/50) = S_e + (1+1/2+....+1/50) czyli S₁ = S_e inaczej: jeżeli do S₁ i do S_e dodasz (1+1/2+....+1/50) otrzymasz równe wyrażenia czyli S₁=S_e

natka: 1/2+1/3=?/6+?/6=

natka: 3/4−1/6=?/12−?/12=

Niania: [(3/4)⁻1 − (1,5)]⁻2

Mariusz: Funkcja tworząca tej sumy to

	ln(1+x)
S(x)=
	x(1−x)