Obliczyć granicę ciągu Michau:

	2n+1 + 32n−1
1 ) an =		=
	4n + 9n

	1   ( )n − 1   2
2) an =		=
	1   ( )2n+1 − 2   3

3) a_n = ⁿ√5n⁷ − n² + 2 = 4) a_n = n − ³√n³ − n² =

	n+1
5) an = (		)7n
	n−1

Michau: pomoże ktoś? ; )

Basia: ad.a 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ*2 = 2*2ⁿ 3²ⁿ⁻¹ = 3²ⁿ*3⁻¹ = ¹₃*(3²)ⁿ = ¹₃*9ⁿ podstaw i podziel teraz licznik i mianownik przez 9ⁿ wtedy policzysz granicę bez problemu (b) tą samą metodą próbuj i podaj swoje wyniki i obliczenia, sprawdzę reszta potem

Michau: ad.a

	2		4		0
U(		*0+0*1}{		+1} =
	9		9		4   9

	1
a powinno wyjść
	3

jakieś sugestie?

Godzio:

2   1   ( )n * 2 +   9   3		1
	=
4   ( )n + 1   9		3

Basia:

2*2n+13*9n
	=
4n+9n

2*(29)n+13		2*0+13		1
	→		=
(49)n+1		0+1		3

(⁴₉)ⁿ → 0 tu masz błąd

Godzio: 5)

	n + 1		2
an = (		)7n = ((1 +		)n )7 =
	n − 1		n − 1

	2		2
= ((1 +		)n − 1 * (1 +		)7
	n − 1		n − 1

	2
(1 +		)7 → 1
	n − 1

	2
((1 +		)n − 1 → e2
	n − 1

	n + 1
lim(		)7n = e2
	n − 1

^n→∞

Basia: błąd Godziu poszukaj i popraw

Godzio: a no tak

	2
((1 +		)n − 1 )7 = (e2)7 = e14
	n − 1

Basia: teraz dobrze

Godzio: Basiu tak z ciekawości spytam czy w przykładzie 3 wyrażenie dąży do 0 ?

Godzio: A w sumie po głębszej analizie wyszło mi że chyba do 1 dąży

Basia: ⁿ√5n⁷−n²+2= ⁿ√n⁷(5−¹_n⁵+²_n⁷ = (ⁿ√n)⁷*ⁿ√5−¹_n⁵+²_n⁷ → (ⁿ√n)⁷*ⁿ√5 → 1*1=1

Godzio: ⁿ√5n⁷ ≤ ⁿ√5n⁷ − n² + 2 ≤ ⁿ√5n⁷ + 5n⁷ + 5n^{7 n}√5 n^7/n ≤ ⁿ√5n⁷ − n² + 2 ≤ ⁿ√15 * n^{7/n n}√5 → 1 , ⁿ√15 → 1

7
	→ 0 ⇒ n7/n → 1
n

ⁿ√5n⁷ − n² + 2 → 1 Dobrze rozumuje ?

Basia: niezupełnie, tam niestety jest minus nie ma pewności, że 5n⁷ ≤ 5n⁷−n²+2 zapewne tak jest, ale trzeba by to udowodnić za to na pewno 5n⁷−n²+2 ≥ 5n⁷−n² ≥ 5n⁷−n⁷ = 4n⁷ inny sposób − patrz wyżej

Godzio: ok, teraz rozumiem dzięki

Michau: nie wychodzi mi ad.b. tzn.

	1   ( n)−1   2		1−0		1
an =		=		= −
	1   1   ( n)*( )−2   9   3		0*0−2		2

	1
a powinno wyjść
	2

Michau: gdzie zrobiłem błąd?

Grześ: na górze był minus przy 1 a potem magicznym sposobem znikł, hmm