pochodne Łuki: pochodne funkcji! Witam prosze o pomoc! korzystajac z definicji zbadaj czy istnieje pochodna w danym punkcie: f(x) = |x−1|, x₀=1 g(x) = x² dla x<= 1 √x dla x>1

Basia:

	f(x)−f(1)
limx→1−		=
	x−1

	|x−1|−|1−1
limx→1−		=
	x−1

	|x−1|
limx→1−		=
	x−1

	−(x−1)
limx→1−		=
	x−1

lim_x→1⁻ (−1) = 1⇒

	f(x)−f(1)
limx→1+		=
	x−1

	|x−1|−|1−1
limx→1+		=
	x−1

	|x−1|
limx→1+		=
	x−1

	x−1)
limx→1+		=
	x−1

lim_x→1⁺ (1) = 1

	f(x)−f(1)		f(x)−f(1)
limx→1−		≠ limx→1+		⇒
	x−1		x−1

pochodna w p−cie x₀=1 nie istnieje −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− drugie spróbuj sam rozwiązać analogicznie

nikka: Basiu, ale te granice (obie) wyszły Ci równe 1

Basia: tam w pierwszym na końcu po prostu minusa brakuje

	−(x−1)
limx→1−		=
	x−1

lim_x→1⁻ (−1) = −1

nikka: a mogłabyś mi przypomnieć jak się liczy granice jednostronne

nikka: chodzi mi właśnie o to ostatnie przekształcenie

Basia: granica ze stałej (−1) wszystko jedno jaka (lewostronna, prawostronna, obustronna) jest równa tej stałej tam nie ma −(−1) tylko lim_{x→1^{z lewej strony}} (−1) = −1 tu czasem czcionka robi takie psikusy, że nie bardzo widać co jest napisane. może tak będzie bardziej czytelne lim_[x→1⁻] (−1) = −1

nikka: jejku, w ogóle źle spojrzałam i się głowię − przecież x−1 się upraszcza

Basia: no właśnie; i dlatego z lewej strony zostaje (−1), a z prawej (+1)

nikka: a jeśli np. nie będzie się upraszczać i w liczniku i mianowniku byłoby coś z x − to jak to się patrzyło ?

Basia: trudno to całkiem ogólnie opisać, może jakiś przykład, choćby ten drugi

Basia:

	g(x)−g(1)
limx→1−		=
	x−1

	x2−12
limx→1−		=
	x−1

	(x−1)(x+1)
limx→1−		=
	x−1

lim_x→1⁻ [x+1] = 1+1=2

	g(x)−g(1)
limx→1+		=
	x−1

	√x−12
limx→1+		=
	x−1

	√x−1
limx→1+		=
	x−1

	√x−1
limx→1+
	(√x−1)(√x+1)

mam prawo tal napisać bo x→1⁺ czyli x>1>0

	1		1		1
=limx→1+		=		=
	√x+1		1+1		2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− inaczej i jakby trudniej jest gdy liczymy granice jednostronne przy x→x₀ i w x₀ funkcja nie jest określona np.

	2
f(x) =
	x2−4

wtedy badamy zachowanie wyrażenie w otoczeniu lewostronnym (prawostronnym) danego x₀ np. dla x₀=−2

	2
x→−2− ⇒ x<−2<0 ⇒ x2−4→0 i x2−4>0 ⇒		→ +∞
	x2−4

x→−2⁺ ⇒ x>−2 ⇒ x²−4→0 i x²−4<0 (bo to się dzieje w otoczeniu −2 czyli x na pewno <2) ⇒

	2
		→ −∞
	x2−4

itd. dla

	2x
g(x) =		będzie
	x2−4

lim_x→−2⁻ g(x) =

	1
limx→−2− (2x) * limx→−2−		=
	x2−4

2*(−2)*(+∞) = −∞ itd.

nikka: Basiu wielkie dzięki