odwrotnosc funkcji niewiem: pomoc− odwrotnosc funkcji mam 2 funkcje 1 f(x)=x²−2 D=<1; plus nieskonczonosci) 2 f(x)=1+log₂(x−3) D=(3 ; plus nieskonczonosci) Mam sprawdzic czy funkcja jest roznowartosciowa i mam obliczyc jej odwrotnosc. A wiec napewno sa roznowartosciowe bo ta pierwsza funkcja jest kwadratowa ale mamy tylko polowe dziedziny a ta 2 to funkcja logarytmiczna wiec tez jest roznowartosciowa, ale teraz jak to zapisac i jakimi obliczeniami sprawdzic. Moze ktos wie? Jak obliczyc odwrotsc takiej funkcji, normalnie to przestawia sie x z y i wylicza y ale w tych przypadkach sie tak niestety nie da. Prosze o pomoc z gory dziekuje.

niewiem: 1 f(x)=x²−2x Sorki

niewiem: jaja sobie robisz?

Basia: f(x₁)=f(x₂) ⇔ x₁²−2=x₂²−2 ⇔ x₁²=x₂² ⇔ x₁²−x₂²=0 ⇔ (x₁−x₂)(x₁+x₂)=0 ⇔ x₁−x₂=0 lub x₁+x₂=0 ⇔ x₁=x₂ lub x₁=−x₂ to drugie jest w przedziale <1,+∞) niemożliwe stąd f(x₁)=f(x₂) ⇔ x₁=x₂ stąd wniosek, że w przedziale <1,+∞) f(x)=x²−2 jest różnowartościowa y=x²−2 x∊<1,+∞) ⇒ y≥1−2=−1 ⇒y+2≥−1+2=1 x²=y+2 x = √y+2 czyli f⁻¹(x)=√x+2 x∊<−1,+∞) spróbuj tak samo z drugą funkcją

niewiem: Kurde basia zrobilas akurat przyklad ktory poprawilem na dole Wiem i rozumiem co napisalas lecz dalej nie wiem jak ta 2 zrobic. i poprawiona czesc pierwsza, ktora napisalem w 2 poscie.

niewiem: Nie znajdzie sie nikt to by wiedzial jak to zrobic

Basia: no przecież to proste jak budowa cepa f(x₁)=f(x₂)⇔ 1+log₂(x₁−3)=1+log₂(x₂−3) ⇔ log₂(x₁−3)=log₂(x₂−3) ⇔ x₁−3=x₃−3 ⇔ x₁=x₂ y = 1+log₂(x−3) log₂(x−3)=y−1 2^{log₂(x−3)}=2^y−1 x−3=2^y−1 x=2^y−1+3 f⁻¹(x) = 2^x−1+3

Marcin W: basiu w koncówce (4 linijka) od dołu nie ma błedu ? wynikaloby z niej ze x−3=y−1

Marcin W: a jednak mi sie uroilo jest ok

Basia: a=b ⇒ 2^a=2^b niby jak z tego ma wynikać, że x−3=y−1

niewiem: Widocznie dla mnie budowa cepa jest zbyt spokmlikowana Dzieki nie wpadlem na to by poprostu skorzystac z definicji funkci wykladniczej

niewiem: btw z jakiej zaleznosci skorzystalas ze zrobilas takie przeksztalcenie: 2^{log₂(x−3)}= 2^y−1 x−3= 2^y−1 a co z log ? czemu zostal opuszczony ?

Basia: A=B ⇒ a^A = a^B (f.wykładnicza jest różnowartościowa) a^log_ab = b a to wynika z definicji logarytmu log_ab=c ⇔ a^c=b stąd a^log_ab = a^c=b

Jack: nie został opuszczony. Basia od razu skorzystała z def. logarytmu. Zrób ten krok po swojemu, a zobaczysz że dostaniesz to samo...

niewiem: ehh chyba jestem na to za glupi to co napisalas to wiem ale pytam o to czemu zniknol ci ten log ;[ bo jezeli a=2 ,b= 2^y−1 c= log₂(x−3) to czemu on potem znika?

Basia: przecież Ci pokazałam, że a^log_ab = b a tam masz 2^{log₂(x−3)} = .... a=2 b=x−3 to co będzie w miejscu .... ? porównaj te dwa zapisy

Jack: Może teraz będzie jaśniej: 2^{log₂(x−3)}=2^y−1 log₂ (x−3)=y−1 (opuszczanie podstaw) 2^y−1=x−3 (def. log.)

niewiem: a mozna poprostu skorzystac z log₂(x−3)=y−1 2^y−1=x−3 i ominac linijke 2^{log₂(x−3)}=2^y−1?

Basia: dobra; niepotrzebnie to skomplikowałam, od razu z definicji logarytmu: y = 1+log₂(x−3) log₂(x−3)=y−1 2^y−1=x−3 x=3+2^y−1 teraz rozumiesz ?

Basia: już masz odpowiedź; można i nawet trzeba, bo tak jest prościej niepotrzebnie to skomplikowałam, chociaż błędu tam nie ma

niewiem: tak tak rozumiem samo istnienie definicji i jej przeksztalcenie tylko intryguje mnie skad sie tam ta linjka wziela : 2^{log₂(x−3)}=2^y−1

niewiem: aha juz chyba wiem... zrobilas poprostu odwrotanosc z poruwnywania wykladnikow poteg?

niewiem: porównaniem i zamiast tych 2 moze byc kazda liczba rzeczywista?

Basia: ona jest zbędna, ale prawidłowa skoro log₂(x−3)=y−1 ⇒ (cokolwiek)^{log₂(x−3)} = (cokolwiek)^y−1 a=b ⇒ 2^a=2^b i 10^a=10^b i 1245^a = 1245^b i co tam jeszcze chcesz

niewiem: Dzieki za pomoc i za cierpliowosc

Basia: i jeszcze bardziej ogólnie: dla każdej funkcji f prawdą jest [ a=b ⇒ f(a)=f(b) ] inaczej to nie byłaby funkcja