Nierówność ze wzorami skróconego mnożenia Boruc1c: Udowodnij nierówność: 3(a²+b²+c²) ≥ (a+b+c)²

Godzio: 3a² + 3b² + 3c² ≥ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac 2a² + 2b² + 2c² − 2ab − 2bc − 2ac ≥ 0 (a − b)² + (a − c)² + (b − c)² ≥ 0

Basia: Godziu udowodniłeś takie twierdzenie: Jeżeli 3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)² to (a−b)²+(a−c)²+(b−c)²≥0 Czy Was w ogóle nie uczą logiki ?

Godzio: Ale o co chodzi ? bo niezbyt rozumiem

Jack: przejścia są równoważne, a ostatnie jest prawdziwe...

Godzio: Czyli chodzi o to żeby zacząć od prawdziwego i skończyć na tym ?

Jack: nie do końca, jeśli przejscia sa równoważne, to wystarczy pewność że jedno z nich jest prawdziwe. Wówczas prawdziwość przechodzi na pozostałe człony równoważności.

Godzio: a to nawet mam pomysł, wykorzystując zależność średnia kwadratowa ≥ średnia arytmetyczna mamy:

√a2 + b2 + c2		a + b + c
	≥		/ 2
√3		3

a2 + b2 + c2		(a + b + c)2
	≥		/ * 9
3		9

3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)²

Basia: wystarczy dowód nie wprost przypuśćmy, że 3(a²+b²+c²)<(a+b+c)² dalej wszystko tak jak ro biłeś dojdziesz do sprzeczności (a−b)²+(a−c)²+(b−c)²<0 czyli przypuszczenie było fałszywe czyli 3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²

Jack: Basiu, wytłumacz na czym polegał błąd Godzia bo mnie się wydaje że było poprawnie i nawet technicznie prościej niż u Ciebie (tzn. bez dowodu niewprost)

Basia: na braku znaków równoważności i na braku stwierdzenia, że ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdych a,b,c∊R to jest czepianie się szczegółów, wiem o tym doskonale i czepiam się tylko Godzia, bo dokładność mu się bardzo, ale to bardzo na studiach przyda

Godzio: Basia normalnie na kartce jak robię, sprawdzian, matura zawsze wszystko dokładnie piszę dziedzina, założenia, znaki, nawet bym napisał trochę że suma 3 liczb podniesionych do kwadratu jest zawsze dodatnia, tyle że tutaj sądziłem że osoba która daje to zadanie to już sobie to wszystko napisze bo też nie zawsze wszystko chce mi się pisać O to nie musisz się bać, ale dzięki będę zwracać na to uwagę

Jack: Chyba zmieniasz troszkę przedmiot "ataku"... Godzio udowodnił więcej niż tylko tę implikację, o której wspomniałaś. Co do reszty, równoważność w przypadku równań czy nierówności jest tak oczywista, że nigdy się nie praktycznie nie pisze. Godzio, domyślam się, celowo stanął na tym kroku. Sam często tak robię, żeby osoba domyśliła się jakie należy wyciągnąc wnioski...

Basia: Cieszę się, że tak jest i już nie będę się czepiać

Basia: Nie zmieniam, brak znaków równoważności pozwala nam sądzić, że mamy tylko implikacje. I o to głównie chodziło.

Godzio: Czepiać się możesz, a nawet musisz ! To na pewno nie zaszkodzi, tyle że może już nie przy tego typu zadaniach że na końcu nie napisałem że to jest spełnione dla a,b,c∊R bo to już oczywiste i to osoba już sobie dopisze