lb KM: Jak udowodnić indukcyjnie, że n³+3n²+2n jest podzielne przez 6? Jak to udowadniam, to wychodzi raczej, że jest podzielne przez 3, a nie przez 6...

AS: Dowód przez indukcję n = 1 1³ + 3*1² + 2*1 = 6 = 6*1 jest podzielne przez 6 Zakładam ,że jest podzielne przez 6 dla n = k k³ +3*k² + 2*k Sprawdzam,czy tw.prawdziwe dla n = k + 1 (k + 1)³ + 3*(k + 1)² + 2*(k + 1) = k³ +3*k² + 3*k + 1 + 3*k² + 6*k + 3 + 2*k + 2 = k³ + 6*k² + 11*k + 6 = (k³ + 3*k² + 2*k ) + (3*k² + 9*k + 6) = (k³ + 3*k² + 2*k) + 3*(k² + 3*k + 2) = (k³ + 3*k² + 2*k) + 3*(k² + k + 2*k + 2) = (k³ + 3*k² + 2*k) + 3*[k(k + 1) + 2*(k + 1)] = (k³ + 3*k² + 2*k) + 3*(k + 1)*(k + 2) Pierwszy nawias podzielny przez 6 z poprzedniego założenia 3*(k + 1)*(k + 2) jest też podzielne przez 6 gdyż jest podzielne przez 3 i przez 2,gdyż dla dowolnego k albo k + 1 albo k + 2jest podzielne przez 2. jedno z nich jest parzyste.

KM: Dzięki