Korzystając z definicji granicy funkcji Cauchy'ego wykaż ,że Karol: Hej. Może mi ktoś wytłumaczyć(najlepiej krok po kroku) jak zrobić poniższy przykład ? lim_x→1(2x+3)=5

Dorota: za x podstawiasz 1 i po obliczeniu wychodzi 5 możesz tak podstawić bo nie masz podanej granicy funkcji lub ciągu. Wtedy trzeba robić troszkę inaczej tzn. z licznika i mianownika wyciągnąć przed nawias największą potęgę mianownika, skrócić i podstawić lub zastosować wzory skróconego mnożenia

Karol: Hmm tyle to chyba wiem . Czy jest do jednak zgodne z rozwiązaniem zadania poprzez definicje Cauchyego ?

Basia: jeżeli masz to udowodnić na podstawie definicji Cauchy'ego to trzeba inaczej

Basia: def.Cauchy'ego lim_x→x0 f(x)=g ⇔ ⋀_ε>0 ⋁_δ>0 ⋀[ x∊(x₀−δ;x₀+δ) ⇒ f(x)∊(g−ε;g+ε) ] badamy kiedy |f(x)−g|<ε ⇔ |2x+3−5|<ε |2x−2|<ε 2*|x−1|ε |x−1|<^ε₂ −^ε₂<x−1<^ε₂ 1−^ε₂<x<1+^ε₂ czyli ta δ istnieje i jest = ^ε₂ a dzieje się to jak widać w otoczeniu p−tu x₀=1 c.b.d.o.