Całka 14latek: Wyliczenie całki podstawieniem Eulera. Witam! Mam pytanie, otóż mam taką całkę: ∫ √x²+1dx I chcę ją obliczyć podstawieniem Eulera, chciałem to jakoś zrobić, podstawiając √x²+1 = t−x,

	2√x2+1dt
jednak później mi wychodziło dx=
	2√x2+1+1

czyli chyba coś nie tak, dalej nie liczyłem, mógłby ktoś krok po kroku zrobić ten przykład ? Z góry dzięki Pozdrawiam.

Jack: http://pl.wikisource.org/wiki/Całki_funkcji_niewymiernych Zobacz wzór (B01)

14latek: A nie da się tego jakimś podstawieniem zrobić ? Bo raczej wątpię, że ktoś zdołałby się nauczyć tych wszystkich wzorów

Jack: widzę, jak się ten wzór wyprowadza i nie sądzę żeby dało się procedurę uprościć. Zresztą w paru źródłach wygląda to tak samo. Co do wzorów, niektórych z nich nie trzeba się uczyć bo można samemu do nich dojść, inne osobiście miałem do dyspozycji na analizie I więc też się nie musiałem specjalnie uczyć

Bogdan: Przedstawiam rozwiązanie tej całki krok po kroku, chociaż prawdę mówiąc − szkoda czasu na takie zabawy, lepiej skorzystać z gotowego wzoru.

	√x2 + 1		x2 + 1
E = ∫√x2 + 1dx = ∫(√x2 + 1*		)dx = ∫		dx =
	√x2 + 1		√x2 + 1

	x		1
=∫(x *		) dx + ∫		dx = A + B
	√x2 + 1		√x2 + 1

	x
A = ∫(x *		) dx Stosujemy tu całkowanie przez części.
	√x2 + 1

	x
u = x v' =
	√x2 + 1

	x		1		2x		1
u' = 1 v = ∫		dx =		∫		dx =		*2√x2 + 1 = √x2 + 1
	√x2 + 1		2		√x2 + 1		2

	f'(x)
Skorzystałem z zależności: ∫		dx = 2√ f(x)
	√ f(x)

A = x√x² + 1 − ∫ √x² + 1 dx = x√x² + 1 − E

	1
B = ∫		dx Stosujemy I podstawienie Eulera: x + √x2 + 1 = t
	√x2 + 1

	t2 − 1		1		1
√x2 + 1 = t − x ⇒ x2+1 = t2−2tx+x2 ⇒ x =		=		(t −		)
	2t		2		t

	1		1		t2 + 1
dx =		(1 +		)dt =		dt
	2		t2		2t2

	t2 − 1		t2 + 1
√x2 + 1 = t − x = t −		=
	2t		2t

	2t		t2 + 1		dt
B = ∫		*		dt = ∫		= ln|t| + C1 = ln|x + √x2 + 1| + C1
	t2 + 1		2t2		t

E = A + B ⇒ E = x√x² + 1 − E + ln|x + √x² + 1| + C₁ 2E = x√x² + 1 + ln|x + √x² + 1| + C₁

	1
E =		(x√x2 + 1 + ln|x + √x2 + 1|) + C
	2

Marcin W: ze tez ci sie chcialo Bogdan ...

M4ciek: Przynajmniej sobie to Bogdan utrwala i nie zapomina.

Marcin W: ja na kartce to sobie moge utrwalic ale klepac tu kodem mi sie zwyczajnie nie chce

Janusz: ale rzeźniki Bogdan co ty skończyłeś ?

M4ciek: Tez bedziesz mial wprawe

Janusz: ja tak lubie mate i tez bym chcial robic takie zadania ale wiedza mnie zawodzi

M4ciek: Tez bym chcial , ale uwazam ,ze nikt sie z umiejetnosciami rozwiazywania np. calek nie urodzil Tylko ciezko pracowal i sie nauczyl.

Marcin W: polecam krysicki wlodarski 2 czesci analizy plus neta do nauki calek

Bogdan: Praca przede wszystkim, codziennie, " w świątki, piątki i w niedziele", ale pewne predyspozycje, talent, a także przyjemność, a nawet radość z ćwiczeń − dają efekty.

Krzysiek: Można też przez podstawienie funkcji hiperbolicznej: Mamy 1 + sinh²(Φ) = cosh²(Φ) Więc zróbmy podstawienie: x = sinh(t) ⇒ dx = cosh(t) dt Wtedy całka zmienia się w:

	1		1		1		1
∫cosh2 (t) dt =		∫(e2t + 2 + e−2t) dt =		(		e2t −		e−2t +
	4		4		2		2

	1		1
2t) + C =		sinh(2t) +		t + C
	4		2

Pierwszy wyraz przekształcamy:

1		1		1		1
	sinh(2t) =		sinh(t) cosh(t) =		sinh(t) √1+ sinh2 (t) =		x √1 +
4		2		2		2

x² A drugi wyraz to nic innego jak:

1		1		1
	t =		arcsinh(x) =		ln |x + √x2 + 1|
2		2		2

(To można zobaczyć przekształcając definicję sinh'a) Czyli odp:

1		1
	ln |x + √x2 + 1| +		x √1 + x2 + C
2		2

knot: ∫x²((1−x²)⁽1/2))dx=