Zbieżność ciąg Ja: Udowodnij, że ciąg a_n jest zbieżny {a_n} n∊N

	3
a) an=
	√n+1

	2n
b) an=
	n!

	n
c) an=		cos(3n+2)
	n2+1

Ma ktoś jakieś pomysły lub może coś podpowiedzieć?

Jack: udowodnij że ciągi są monotocznie (od pewnego momentu) i ograniczone.

Jack: (monotoniczne)

Basia: ad.1 wprost z definicji ad.3 z tw.o trzech ciągach ad.2 tak jak napisał Jack

MW: Czesc Basiu ranny ptaszku

Basia: Cześć, raczej jestem nocnym markiem. Dzisiaj jest wyjątek.

Ja: czyli b będzie

|an+1|		2n+1   (n+1)!		2n+1		n!
	=		=		*
|an|		2n   n!		(n+1)!		2n

	2n*2*n!		2*n!		2
=		=		=		czyli, ciąg jest zbieżny dla n>1
	(n+1)!*2n		(n+1)!		n+1

O to chodziło?

Basia: policzone dobrze, ale nie o to chodziło ²_n+1<1 dla każdego n>1 zatem ciąg a_n jest malejący począwszy od a₂

	2n		2
równocześnie jest ograniczony z dołu bo an=		>0 i z góry liczbą a1=		=2
	n!		2

i z tego wynika, że ciąg jest zbieżny

Ja:

	2
o dziękuję, a tam nie powinno być a1=		=1
	2

a w tym pierwszym chodzi o definicje granicy ciągu |a_n−g|<ε? za 3 to juz w ogole nie wiem jak sie zabrac, moze jeszcze jakas podpowiedz?

Basia: ad.3

	n		n
−1≤cos(3n+2)≤1 /*		kierunek nierówności się nie zmienia bo		jest
	n2+1		n2+1

stale dodatni

	n		n		n
−		≤		*cos(3n+2)≤
	n2+1		n2+1		n2+1

	n		n
ciągi		i −		→ 0
	n2+1		n2+1

stąd na mocy twierdzenia o trzech ciągach

n
	*cos(3n+2) →0
n2+1

ad.1 wybieram dowolne ε>0 i badam kiedy

	3
|		|<ε ⇔
	√n+1

3
	<ε ⇔
√n+1

3< ε(√n+1) ⇔ 3<e*√n+ε ⇔ ε*√n>3−ε ⇔

	3−ε
√n>		⇔
	ε

	3−ε
n> (		)2
	ε

stąd:

	3−ε		3
⋀ε>0 ⋁N=część całkowita z		+1 ⋀n≥N |		−0|<ε ⇒
	ε		√n+1

	3
ciąg		→ 0
	√n+1

Ja: Ach dziękuję bardzo, jesteś wielka