wielomiany cyrus: Dla jakich wartości parametrów a,b liczba r jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), jeśli: W(x)=x⁴−2x³+6x²+ax+b r=1

Marcin W: podziel pod kreska W(X) na (x−1)² wyjdzie ci ze a=−10 b=5

asia: jak mam to podzielic? dochodze do tego a i b i nie wiem jak dalej

Eta: Jaka szkoda,że z programu szkoły średniej "wyrzucono" rachunek pochodnych . rozwiązanie tego zadania ( bez dzielenia wielomianów) wyglada tak: jeżeli r= 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu W(x) to: W(r)=0 i W^'(r)=0 W(1) = 1 −2 +6 +a+b => a+b+5=0 => a+b= −5 W^'(x)= 4x³ −6x² +12x +a W^'(1)= 4 −6 +12 +a => a+10=0 => a= −10 to: 10+b= −5 => b= 5

asia: skad ci sie to wzielo ?ooo W'(x)= 4x³ −6x² +12x +a

Basia: nie znasz pochodnych asiu ?

asia: nie, mozesz to jakos szybko wytlumaczyc ?

Gustlik: Eta, z programu szkoły średnie wyrzuca się niestety wiele przydatnych rzeczy, albo daje się na rozszerzenie materiał, który bezwzględnie powinien być na podstawach. Np. co trudnego jest w rachunku wektorów, że dali to na rozszerzenie? Wymagana wiedza to znajomość układu współrzędnych (a to już się przerabia w gimnazjum) oraz znajomość JEDNEGO działania arytmetycznego − ODEJMOWANIA, które znamy już w pierwszej klasie podstawówki. Wektory ułatwiają wręcz życie podczas rozwiązywania wielu zadań z geometrii analitycznej, bo zamiast skomplikowanych ukladów równań można wiele zadań rozwiązać prostymi równaniami z jedną niewiadoma. Druga sprawa − wzór na odległość punktu od prostej − oficjalnie też jest na rozszerzeniu, a w tegorocznej listopadowej maturze próbnej pojawiło się zadanie (zadanie nr 33 w arkuszu zadań otwartych), w którym ten wzór był niemal niezbędny. Oczywiście można odległość punktu od prostej obliczyć bez tego wzoru, tak jak to zrobił autor tej strony Jakub: https://matematykaszkolna.pl/strona/2630.html , ale jest to wtedy jazda z Warszawy do Piaseczna przez Paryż, bo trzeba się nakombinować ze znalezieniem punktu przecięcia prostych (czyli układ równań), a potem obliczyć odległość danego punktu od punktu przecięcia. Czyli mamy kombinowanie jak koń pod górę, a na maturze niestety nie ma na to czasu. Moim zdaniem to "metoda Jakuba" obliczania odległości punktu od prostej powinna się znaleźć na rozszerzeniu, bo jest trudniejsza, a wzr powinien być na podstawach. Nie krytykuję tutaj oczywiście Jakuba (mam nadzieję, Jakubie, że się nie obrazisz), bo chłopak chciał pokazać, jak można "ominąć" ten wzór, którego na podstawach oficjalnie nie ma, tylko że przez takie omijanie prostych rzeczy dodajemy sobie pracy, czyli jakbyśmy "nadkładali sobie drogi" bo jedziemy naokoło. Ja tylko krytykuję głupotę tych, co wymyślili ten chory program i teraz to się kupy nie trzyma. Na szczęście wielu nauczycieli przerabia jeszcze i wektory i ten wzór i inne rzeczy na podstawach, mimo, że oficjalnie ten materiał jest na rozszerzeniu.

asia: super, masz racje :F

Basia: niestety szybko się tego nie da wytłumaczyć, tak ze 25 godzin może by od biedy wystarczyło trzeba zastosować metodę zwykłego dzielenia wielomianów x⁴−2x³+6x²+ax+b : (x²−2x+1) = x²+5 −x⁴+2x³−x² −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 5x²+ax+b −5x²+10x−5 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (a+10)x+(b−5) czyli R(x) = (a+10)x+(b−5) R(x)=0 ⇒ a+10=0 b−5=0 a= −10, b=5

Gustlik: Do cyrusa − wskazówki: 1. Zrób sobie schemat Hornera, podstawiając 1: otrzymasz wielomian, oznaczmy go dajmy na to V(x) będący wynikiem dzielenia przez dwumian (x−1) oraz resztę. I ten wielomian i ta reszta bedą zawierały parametry a i b. 2. Przyrównaj resztę do 0 (warunek na to, aby 1 była pierwiastkiem W(x) − tw. Bezout), a potem oblicz V(1) i przyrównaj do 0, ponieważ jeżeli 1 ma być pierwiastkiem dwukrotnym, to musi ten pierwiastek "powtórzyć się" dla otrzymanego w wyniku dzielenia wielomianu V(x) − otrzymasz w ten sposób układ równań z dwiema niewiadomymi a i b − i rozwiąż ten układ.

Basia: Gustlik schemat Hornera też jest już tylko w programie rozszerzonym

Gustlik: Wiem, i dzielenie wielomianów też, ale zapewne to zrobił ten sam palant, który dał wektory na rozszerzenie. A potem uczeń dostanie równanie typu x³+6x²+12x+8=0 (a takie na podstawach rozwiazują) do rozwiązania i zgłupieje widząc "niepasujące" do siebie współczynniki, bo konia z rzędem temu, który zwuważy, że to jest wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy − że zwinie to się do postaci (x+2)³. Wiele osób nie zauważa kwadratów sumy czy różnicy i wielomiany typu x²+4x+4 rozwiązuje deltą, ale na szczęście deltę jeszcze zostawiono na podstawach i uczeń ma "awaryjną" metodę, a tym bardziej mają uczniowie problem z dopasowaniel współczynników do wzorów z sześcianami. A tak potraktowałby ten wielomian Hornerem, zgodnie z tw. Bezout znalazłby pierwiastek −2 i rozwiązał to równanie − niestety tutaj pozbawiono uczniów tej awaryjnej metody. Wielka szkoda, zwłaszcza że schemat Hornera, dzielenie wielomianów i twierdzenie Bezout to uniwersalne metody rozwiązywania wielomianów, "pasujące" do każdego przypadku, natomiast metody typu wyłączanie czynnika przed nawias, grupowanie wyrazów czy wzory skróconego mnożenia "pasują" tylko do niektórych wielomianów. To mniej więcej tak samo, jak delta w przypadku funkcji kwadratowej − deltą da się rozwiazać każdą funkcję (albo stwierdzić brak rozwiązań), natomiast inne metody pasują tylko do niektórych typow funkcji kwadratowej, np. typu ax²+bx, albo funkcji typu x²−4.

Basia: A ten wzór na odległość punktu od prostej (bez którego nawiasem mówiąc geometria analityczna jest koszmarna) to spadł z nieba czy może trzeba go jednak wyprowadzić posługując się metodą opisaną przez Jakuba tyle, że ze znacznie bardziej skomplikowanymi rachunkami, bo dla dowolnej prostej Ax+By+C=0 i dowolnego punktu P(x₀,y₀) ?

Basia: Cytuję: Wielka szkoda, zwłaszcza że schemat Hornera, dzielenie wielomianów i twierdzenie Bezout to uniwersalne metody rozwiązywania wielomianów, "pasujące" do każdego przypadku.. no niezupełnie do każdego tego równania nie "ugryzą" x³−√2x²−2x+2√2 a rozkład na czynniki owszem

Gustlik: No ale prawie do każdego.

Gustlik: Basiu − zgadza się, ale wtedy wystarczy raz wyprowadzić ten wzór i go stosować, zamiast robić żmudne i czasochłonne obliczenia przy każdym tego typu zadaniu, zwłaszcza że wzór jest bardzo prosty. Pozdrawiam