Permutacje Joanna: Witam wszystkich. Mam wątpliwości co do rozwiązania następującego zadania. A mianowicie: Na ile sposobów można ustawić w szereg 8 mężczyzn i 2 kobiety tak, aby kobiety stały obok siebie. Moje rozwiązanie jest następujące: mamy 10 osób a w tym dwie kobiety, które muszą stać obok siebie a więc mamy 9 możliwości czyli permutacja 9cio elementowa, a więc 9!=362880 możliwych ustawień. Każdemu takiemu ustawieniu odpowiada 2!=2 ustawień, gdy dopuścimy możliwość przestawienia kobiet. Mamy zatem 9!*2!=362880*2=725760 NATKNĘŁAM SIĘ RÓWNIEŻ NA TAKIE ROZWIĄZANIE: 9*8! 9 − bo na 9 sposobów można ustawić dwie kobiety obok siebie w 10 osobowym rzędzie 8! − jest to permutacja 8−o elementowa czyli wszystkie sposoby ustawienia kolesi na pozostałych miejscach Bardzo proszę o podpowiedz, które rozwiązanie jest poprawne i dlaczego gdyż sama nie wiem co o tym sądzić. Dziękuję z góry za pomoc.

Basia: kobiety mogą stać na miejscach (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6) (6,7) (7,8) (8,9) (9,10) czyli 9 możliwości ale trzeba to jeszcze pomnożyć przez dwa, bo przecież może być zawsze (k₁,k₂) lub (k₂,k₃) mężczyzn rozmieszczam dowolnie czyli na 8! sposobów co daje 2*9*8! −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Twoje rozwiązanie też nie jest poprawne Skąd 9!

Marcin Wolanowski: kobiety obok siebie na 2 sposoby w międzyczasie mężczyźni mogą się zamieniać miejscami na 8! sposobów ale kobiety 2 obok można ustawić na 9 sposobów czyli 2*9*8!

Basia: Joanna Korekta: Twoje rozwiązanie jest poprawne (tzn. wynik jest poprawny), ale szczerze mówiąc rozumowania nie łapię. Marcinowi i mnie wyszło to samo bo 2*9*8!=2*9!

Joanna: Dziękuję Ci Bardzo za odpowiedz. Czy jesteś jej pewna na 100% Ja dopiero uczę się tej dziedziny matematyki i dlatego pytam. Jeżeli chodzi o moją odpowiedz to jest ona analogiczna do poniższego zadania, które znalazłam w jakimś konspekcie do lekcji matematyki zamieszczonym na necie. A mianowicie: Na półce stoi 7 tomów, wśród nich trzytomowe wydanie „Historii Matematyki”. Na ile sposobów można ułożyć te książki tak, aby trzy tomy „Historii Matematyki” stały obok siebie (ale niekoniecznie we właściwej kolejności)? Uwagi: Pomocne może okazać się następujące rozumowanie. Wyobraźmy sobie, że trzy tomy „Historii Matematyki” zostały sklejone tak, że tworzą jedną całość. W istocie mamy wówczas 5 książek, a więc 5!=120 możliwych ustawień. Każdemu takiemu ustawieniu odpowiada 3!=6 ustawień, gdy dopuścimy możliwość przestawiania trzech tomów „Historii Matematyki”. Mamy zatem 5!∙3!=120∙6=720 ustawień.

Joanna: Uff dzięki moja odpowiedz w takim razie już nie aktualna Zaraz wyślę jeszcze jedno zadanko, w celu upewnienia się czy dobrze myślę.

Basia: Jestem pewna na 150 %. Rozumowanie, które tu przytoczyłaś rozumiem. Prowadzi do tego samego wyniku. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− wybieram trzy miejsca obok siebie (1,2,3) (2,3,4) (3,4,5) (4,5,6) (5,6,7) mam 5 sposobów przy każdym wyborze te trzy tomy stawiam dowolnie czyli 3! pozostałe 4 też dowolnie czyli 4! razem: 5*3!*4! = 3!*5!=6*120 czyli wynik jest ten sam −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− oba sposoby są poprawne, tyle, że tym który opisałaś już trudniej będzie się posłużyć gdy zapytamy: ile jest takich ustawień, w których kobiety rozdziela dokładnie jeden mężczyzna

Joanna: Rozumien, bardzo dziękuję za odpowiedz.

Joanna: Hmm nie rozumiem jeszcze tego zapisu: 5*3!*4! = 3!*5!=6*120

JamŁasica: bo 5 * 4! to inaczej 5*4*3*2*1 czyli 5!