Wyznacz dziedzinę (naturalną) funkcji. zbyszek: a) y=√log _x2−log ₂x b) y=lg[cos(lgx)] p.s. Przepraszam za te kreski przy podstawach logarytmu w zadaniu a , nie umiałem sensowniej zaznaczyć podstawy logarytmu . . Pozdrawiam

Ania. : czyli podstawa to po prostu x i 2, tak?

zbyszek: Tak jest .

think: dziedzina to a pierwszym przypadku wartość pod pierwiastkiem musi być nieujemna czyli musisz rozwiązać taką nierówność: log_x2 − log₂x ≥ 0

zbyszek: Właśnie tu rodzi się problem . Jak rozwiązać taką nierówność? Jakiej metody użyć ? Skorzystać z pewnych właściwości logarytmu czy jest jakiś inny sposób?

think: ano skorzystaj zamień np log_x2 na log o podstawie 2 a potem zrób podstawienie za log₂x = t

nikka: x jest w podstawie logarytmu − a nie należałoby rozważyć dwóch przypadków?

think: nikka niekoniecznie

log22
	− log2x ≥ 0
log2x

1
	− log2x ≥ 0
log2x

log₂x = t

1
	− t ≥ 0
t

1 − t2
	≥ 0 ⇔ (t + 1)*t*(t − 1) ≥ 0 ⇔ t∊ (−∞,−1> ∪ (1, 2>
t

a log₂x ∊ (−∞,−1> ∪ (1, 2> dla x∊ .... i tutaj wyjdą te dwie możliwości z iksem z przedziału (0,1) i (1,∞)

nikka: a skąd się wzięła 2 przy t∊... ?

nikka: pierwiastki to t= −1, t=0, t=1 ...

think: ajjj źle przepisałam ten drugi nawias to (0,1>

Basia: ejże think dla t<−1 t+1<0 i t<0 i t−1<0 ⇒ (t+1)*t*(t−1)<0 popraw może sama, bo muszę skoczyć do sklepu

nikka: poza tym

1−t2
	≥0 ⇔(1−t)(1+t)t ≥ 0 a jeśli Twój zapis to powinien być znak ≤
t

zbyszek: Hej Think dzięki za pomoc . Mam jeszcze jedno pytanie , mam odpowiedzi do tego zadania i tam jest napisane następująco "x∊((0;0,5)∪(1;2>". O ile jeszcze 0 jestem w stanie pojąć , to skąd się wzięło 0.5 już nie wiem . Macie jakiś pomysł?

think: ahhh zgroza przedziały są dobre, ale rozpiska:

1 − t2
	≥ 0 ⇒ (1 + t)*t*(1 − t) ≥ 0 to powinno być poprawione na kartce oczywiście tak
t

mam, nie ma jak siła przyzwyczajenia

think: jasne powiedz mi kiedy log₂x da Ci wynik w postaci −∞ skorzystaj z def logarytmu log_ab = c ⇔ a^c = b czyli 2^−∞ → ...

zbyszek: Z definicji 2−∞→x czyli x będzie dążyło do 0 ? Oto chodzi ? Trochę ciemny z tego jestem...

Basia: think skąd Ci się wziął przedział (1,2> ? t∊(−∞,−1>∪(0,1> 1. x>0 i x≠1 bo jest podstawą logarytmu 2. t≤−1 log₂x≤−1=log₂¹₂ x≤¹₂ 3. 0<log₂x≤1 log₂1<log₂x≤log₂2 x∊(1,2> 1 i (2 lub 3) ⇔ (1 i 2) lub (1 i 3) ⇔ (x>0 i x≠1 i x≤¹₂) lub (x>0 i x≠1 i x∊(1`,2>) ⇔ x∊(0,¹₂>∪(1,2> i to jest zgodne z odpowiedzią

zbyszek: A już wszystko łapię coś zaskoczyło . Te 0.5 to z podstawienia do wzoru t≥−1. . Teraz męcze przykład b. . Dzięki wszystkim za pomoc .

think: Basiu poprawiałam już bo mi na to zwróciła uwagę nikka, zamiast (0,1> napisałam przedział z odpowiedzi

Basia: Uwaga formalna:

	1−t2
warunki:		≥0 i (1−t2)*t≥0 nie są równoważne
	t

równoważne są warunki:

1−t2
	≥0 i [ (1−t2)*t≥0 i t≠0 ]
t

w pracy maturalnej już bym się do tego przyczepiła

zbyszek: Hej a macie jakiś pomysł do przykładu b ?

Basia: co u Ciebie oznacza lg ? log₁0 czy log_e=ln ?

Basia: y=lg[cos(lgx)] cos(lgx)>0 ⇔ lgx∊(−^π₂+2kπ;^π₂+2kπ) ⇔ −^π₂+2kπ<lgx<^π₂+2kπ ⇔ e^{−π₂+2kπ}<x<e^π₂+2kπ (jeżeli lg oznacza logarytm naturalny)

zbyszek: lg oznacza u mnie logarytm dziesiętny. Dziękuje Basiu , analogicznie do twojego rozwiązania dla logarytmu naturalnego postaram się zrobić swój przykład.