lb KM: Jak obliczyć taką granicę?

	1*2+2*3+...+n*(n+1)
limn→∞
	2(n+1)3

Nie wiem co z tym licznikiem zrobić, bo chyba nic się tu nie poredukuje...

Jack: zauważ, że masz: 1*2 + 2*3 = 8*1² 3*4 + 4*5 = 8*2² 5*6 + 6*7 = 8*3² 7*8 + 8*9 = 8*4² 9*10+10*11=8*5² ... .... (k−1)*k+k*(k+1)=8*(^k₂)²

KM: Ja bym tego nie zauważyła ... Dzięki

Jack: ja też tego nie widziałem, dopóki nie pokombinowałem...

KM: Muszę tak zacząć kombinować, bo wyjadą z takim czymś na kolokwium i będzie masakra.

KM: A niełatwo się na takie sposoby wpada

Jack: niełatwo, niełatwo ale przy odrobinie szczęścia...

Basia: Przykro mi Jack, ale nie mogę się zgodzić. 1*2+2*3+....+n*(n−1)= 1*(1+1)+2*(2+1)+....+n(n+1)= 1²+1+2²+2+....+n²+n = (1²+2²+....+n²)+(1+2+...+n)=

n(n+1)(2n+1)		1+n
	+		*n
6		2

stąd

	n(n+1)(2n+1)   1+n   + *n 6   2
początkowy =		=
	(n+1)3

n(n+1)(2n+1)+3n(n+1)
	=
6(n+1)3

n(n+1)(2n+1+3n)		n(n+1)(5n+1)		1
	=		→
(n+1)3		(n+1)3		3

(to już łatwo pokazać) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− jeżeli nie pamiętamy (a najczęściej tak jest) wzoru na sumę 1²+2²+...+n² łatwo zauważyć, że

12+22+...+n2
	=
(n+1)3

∑_k=0,,,n (^k_k+1)²*¹_k+1 = sumie pól dolnych na odcinku [0,1] z funkcji y=x² przy podziale odcinka [0,1] na n+1 równych, co jest tak samo uprawnione jak podział na n odcinków (definicja całki oznaczonej Riemana) stąd wynika, że ∑_k=0,,,n (^k_k+1)²*¹_k+1 → całki dolnej na [0,1] z fdunkcji y=x² =

	x3		1
∫01 x2 dx =		|01=
	3		3

1+2+...+n		n(n+1)
	=		oczywiście → 0
(n+1)3		2(n+1)3

Basia: P.S. w liczniku występują: sumy k(k+1)+(k+1)(k+2) dla k=1,...,n−1 lub sumy (k−1)*k+k(k+1) dla k=2,....,n wtedy bez kombinowania widać, że (k−1)*k+k(k+1) =k²−k+k²+k=2k² ale to nic nie daje, po tym przekształceniu licznik = 2*2²+2*42+...+2*n² dla n parzystych licznik = 2*2²+2*4²+...+2*(n−1)²+n(n+1) dla n nieparzystych i nadal nie wiadomo do czego to dąży w tym tkwi błąd

AS: Włączam się S = 1*2 + 2*3 + ... + n*(n+1) Stosując przekształcenie n*(n + 1) = n² + n mamy 1*2 = 1² + 1 2*3 = 2² + 2 3*4 = 3² + 3 itd S = (1² + 1) + (2² + 2) + .. + (n² + n) = (1² + 2² + 3² + ... + n²) + (1 + 2 +3 + ... + n) =

1		1		1
	*n*(n + 1)*(2*n + 1) +		*n*(n + 1) =		*n*(n + 1)*(n + 2)
6		2		3

Szukana granica

	1/3*n*(n + 1)*(n +2)		1
g = lim n→∞		=
	2*(n + 1)3		6

Jack: Ok, faktycznie dodawanie parami było ryzykowne... Dzięki za zwrócenie uwagi i poprawę!

Basia: 0czywiście Asie. Ja liczę bez 2 z mianownika, bo to oczywiste, że

1*2+2*3+...+n(n+1
	=
2(n+1)3

1		1*2+2*3+...+n(n+1		1		1*2+2*3+...+n(n+1
	*		→		*lim		=
2		(n+1)3		2		(n+1)3

1		1		1
	*		=
2		3		6

Basia: P.S. Mam tam zresztą ( w tym pierwszym) błąd w rachunkach i zgubiłam 6 z mianownika, ale to już łatwo poprawić