think: a,b ≥ 0
| | √a2 | | √b2 | |
√a + √b ≤ |
| + |
|
|
| | √b | | √a | |
| | √a3 | | √b3 | |
√a + √b ≤ |
| + |
| / *√ab
|
| | √ab | | √ab | |
√a2b +
√ab2 ≤
√a3 +
√b3
a
√b + b
√a ≤ a
√a + b
√b
a
√b − b
√b ≤ a
√a − b
√a
√b(a − b) ≤
√a(a − b)
jeśli a > b
wtedy a − b > 0
i
√b <
√a co się zgadza skoro a > b
natomiast jeśli a < b
wtedy a − b < 0 więc przy dzieleniu stronami przez (a − b) zmienia nam się znak nierówności na
przeciwny
√b ≥
√a co się zgada skoro b > a
i ostatni przypadek jeśli a = b
to
√a +
√a ≤
√a +
√a czyli też prawda.
misiek: Witam.
a>0
b>0
Po podniesieniu stronami do kwadratu otrzymamy:
następnie:
a
3 + b
3 − a
2 b − a b
2 ≥ 0
a
2 (a − b) − b
2 (a −b) ≥ 0
(a
2 − b
2) (a − b) ≥ 0
(a + b) (a − b) (a − b) ≥ 0
(a − b)
2 (a + b) ≥ 0
Ponieważ a i b > 0, to ostatnie wyrażenie jest prawdziwe.